Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d \left(...

$x\in \left( -\dfrac{\pi }{2};4\pi \right)\Rightarrow \cos x\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow f\left( \cos x \right)\in \left[ -1;3 \right].$
Phương trình đã cho tương đương:
$\begin{aligned}
& {{f}^{2}}\left( \cos x \right)-5\left| f\left( \cos x \right) \right|+6=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| f\left( \cos x \right) \right|=2 \\
& \left| f\left( \cos x \right) \right|=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| f\left( \cos x \right) \right|=2 \\
& \left| f\left( \cos x \right) \right|=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( \cos x \right)=-2 \left( VN \right) \\
& f\left( \cos x \right)=2 \\
& f\left( \cos x \right)=-3 \left( VN \right) \\
& f\left( \cos x \right)=3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$.
TH1: $f\left( \cos x \right)=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \cos x=a \left( -1<a<0 \right) , \left( 1 \right) \\
& \cos x=b \left( 0<b<1 \right), \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình số $\left( 1 \right)$ có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn.
Phương trình số $\left( 2 \right)$ có 5 nghiệm phân biệt thỏa mãn.
TH2: $f\left( \cos x \right)=3\Leftrightarrow \cos x=0, \left( 3 \right)$.
Phương trình số $\left( 3 \right)$ có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn (lưu ý không lấy nghiệm tại $x=\dfrac{-\pi }{2}$ ).
Vậy kết hợp cả hai trường hợp, phương trình đã cho có tổng cộng 13 nghiệm