Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,\left(...

Đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ đi qua bốn điểm $(-2;0),(-1;2),(1;0),(2;2)$ nên ta có
$\{\begin{array}{rl}& -8a+4b-2c+d=0\\ & -a+b-c+d=2\\ & a+b+c+d=0\\ & 8a+4b+2c+d=2\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& a={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & b=0\\ & c=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ & d=1\end{array}$.
Do đó, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2-3x+2)={\displaystyle \frac{1}{2}}{(x-1)}^2(x+2)$.
$\begin{array}{rl}& g\left(x\right)={\displaystyle \frac{(x+1)\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}{(x-1)}^2(x+2)}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}(x^3-3x-2)(x^2-2mx+m+2)}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}(x+1)\sqrt{{(x-1)}^2(x+2)}}{(x-2){(x+1)}^2(x^2-2mx+m+2)}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}|x-1|\sqrt{x+2}}{(x-2)(x+1)(x^2-2mx+m+2)}}\end{array}$
Điều kiện xác định của $g\left(x\right)$ là $\{\begin{array}{rl}& x\ge -2\\ & x\ne 2\\ & x\ne -1\\ & x^2-2mx+m+2\ne 0\end{array}$
Dễ thấy đồ thị hàm số $g\left(x\right)$ có duy nhất tiệm cận ngang là $y=0$, các đường thẳng $x=2;x=-1$ là những tiệm cận đứng. Bởi thế, để đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận thì đồ thị này phải có thêm 2 tiệm cận đứng nữa. Tức là, phương trình $x^2-2mx+m+2=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $2;1;-1$ và cùng lớn hơn hoặc bằng $-2$.
Đặt $h\left(x\right)=x^2-2mx+m+2$, điều kiện kể trên tương đương với
$\{\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\\ & h\left(2\right)h\left(1\right)h(-1)\ne 0\\ & h(-2)\ge 0\\ & x_1+x_2>-4\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m^2-m-2>0\\ & (6-3m)(3-m)(3m+3)\ne 0\\ & 6+5m\ge 0\\ & 2m>-4\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& [\begin{array}{rl}& m>2\\ & m<-1\end{array}\\ & m\ne 2;m\ne 3;m\ne -1\\ & m\ge -{\displaystyle \frac{6}{5}}\\ & m>-2\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& m>2\\ & m\ne 3\end{array}\\ & -{\displaystyle \frac{6}{5}}\le m<-1\end{array}$Vậy các giá trị nguyên của $m\in (-2019;2021)$ thỏa yêu cầu bài toán là $4;5;...;2020$, có 2017 giá trị nguyên.