Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,\left( a\ne 0 \right)$ có đồ thị như hình bên. Gọi $S$ là tập các giá trị nguyên của $m$ thuộc khoảng $\left( -2019;2021 \right)$ để đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{\left( x+1 \right)\sqrt{f\left( x \right)}}{\left( f\left( x \right)-2 \right)\left( {{x}^{2}}-2mx+m+2 \right)}$ có 5 đường tiệm cận (tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang). Số phần tử của tập $S$ là
A. 4036.
B. 4034.
C. 2017.
D. 2016.
Đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ đi qua bốn điểm $\left( -2;0 \right),\left( -1;2 \right),\left( 1;0 \right),\left( 2;2 \right)$ nên ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& -8a+4b-2c+d=0 \\
& -a+b-c+d=2 \\
& a+b+c+d=0 \\
& 8a+4b+2c+d=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{2} \\
& b=0 \\
& c=-\dfrac{3}{2} \\
& d=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó, $f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)=\dfrac{1}{2}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)$.
$\begin{aligned}
& g\left( x \right)=\dfrac{\left( x+1 \right)\sqrt{\dfrac{1}{2}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)}}{\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{3}}-3x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-2mx+m+2 \right)} \\
& \text{ }=\dfrac{\sqrt{2}\left( x+1 \right)\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)}}{\left( x-2 \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2mx+m+2 \right)}=\dfrac{\sqrt{2}\left| x-1 \right|\sqrt{x+2}}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-2mx+m+2 \right)} \\
\end{aligned}$
Điều kiện xác định của $g\left( x \right)$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x\ge -2 \\
& x\ne 2 \\
& x\ne -1 \\
& {{x}^{2}}-2mx+m+2\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
Dễ thấy đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có duy nhất tiệm cận ngang là $y=0$, các đường thẳng $x=2;x=-1$ là những tiệm cận đứng. Bởi thế, để đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận thì đồ thị này phải có thêm 2 tiệm cận đứng nữa. Tức là, phương trình ${{x}^{2}}-2mx+m+2=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $2;1;-1$ và cùng lớn hơn hoặc bằng $-2$.
Đặt $h\left( x \right)={{x}^{2}}-2mx+m+2$, điều kiện kể trên tương đương với
$\left\{ \begin{aligned}
& \Delta '>0 \\
& h\left( 2 \right)h\left( 1 \right)h\left( -1 \right)\ne 0 \\
& h\left( -2 \right)\ge 0 \\
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>-4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m-2>0 \\
& \left( 6-3m \right)\left( 3-m \right)\left( 3m+3 \right)\ne 0 \\
& 6+5m\ge 0 \\
& 2m>-4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m<-1 \\
\end{aligned} \right. \\
& m\ne 2;m\ne 3;m\ne -1 \\
& m\ge -\dfrac{6}{5} \\
& m>-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m\ne 3 \\
\end{aligned} \right. \\
& -\dfrac{6}{5}\le m<-1 \\
\end{aligned} \right. $Vậy các giá trị nguyên của $ m\in \left( -2019;2021 \right) $ thỏa yêu cầu bài toán là $ 4;5;...;2020$, có 2017 giá trị nguyên.
B. 4034.
C. 2017.
D. 2016.
Đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ đi qua bốn điểm $\left( -2;0 \right),\left( -1;2 \right),\left( 1;0 \right),\left( 2;2 \right)$ nên ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& -8a+4b-2c+d=0 \\
& -a+b-c+d=2 \\
& a+b+c+d=0 \\
& 8a+4b+2c+d=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{2} \\
& b=0 \\
& c=-\dfrac{3}{2} \\
& d=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó, $f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)=\dfrac{1}{2}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)$.
$\begin{aligned}
& g\left( x \right)=\dfrac{\left( x+1 \right)\sqrt{\dfrac{1}{2}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)}}{\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{3}}-3x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-2mx+m+2 \right)} \\
& \text{ }=\dfrac{\sqrt{2}\left( x+1 \right)\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)}}{\left( x-2 \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2mx+m+2 \right)}=\dfrac{\sqrt{2}\left| x-1 \right|\sqrt{x+2}}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-2mx+m+2 \right)} \\
\end{aligned}$
Điều kiện xác định của $g\left( x \right)$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x\ge -2 \\
& x\ne 2 \\
& x\ne -1 \\
& {{x}^{2}}-2mx+m+2\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
Dễ thấy đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có duy nhất tiệm cận ngang là $y=0$, các đường thẳng $x=2;x=-1$ là những tiệm cận đứng. Bởi thế, để đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận thì đồ thị này phải có thêm 2 tiệm cận đứng nữa. Tức là, phương trình ${{x}^{2}}-2mx+m+2=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $2;1;-1$ và cùng lớn hơn hoặc bằng $-2$.
Đặt $h\left( x \right)={{x}^{2}}-2mx+m+2$, điều kiện kể trên tương đương với
$\left\{ \begin{aligned}
& \Delta '>0 \\
& h\left( 2 \right)h\left( 1 \right)h\left( -1 \right)\ne 0 \\
& h\left( -2 \right)\ge 0 \\
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>-4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m-2>0 \\
& \left( 6-3m \right)\left( 3-m \right)\left( 3m+3 \right)\ne 0 \\
& 6+5m\ge 0 \\
& 2m>-4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m<-1 \\
\end{aligned} \right. \\
& m\ne 2;m\ne 3;m\ne -1 \\
& m\ge -\dfrac{6}{5} \\
& m>-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m\ne 3 \\
\end{aligned} \right. \\
& -\dfrac{6}{5}\le m<-1 \\
\end{aligned} \right. $Vậy các giá trị nguyên của $ m\in \left( -2019;2021 \right) $ thỏa yêu cầu bài toán là $ 4;5;...;2020$, có 2017 giá trị nguyên.
Đáp án C.