Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-bx+1$ và...

Ta có $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-bx+1\Rightarrow f'(x)=3a{{x}^{2}}+4x-b\Rightarrow f''(x)=6ax+4$
Cho $f''\left( x \right)=6ax+4=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-2}{3a}(a\ne 0)$, $x=\dfrac{-2}{3a}$ là hoành điểm uốn.
Lại có $y=g\left( x \right)=c{{x}^{2}}+4x+d\Rightarrow g'(x)=2cx+4$ cho $g'\left( x \right)=2cx+4=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-2}{c}$ là trục đối xứng của parabol
Từ đó ta được $x=\dfrac{-2}{c}=\dfrac{-2}{3a}\Leftrightarrow \text{3a=c}$
Phương trình hoành độ giao điểm: $a{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-bx+1=c{{x}^{2}}+4x+d\Leftrightarrow a{{x}^{3}}+(2-c){{x}^{2}}-(b+4)x+1-d=0$
Theo vi-et phuong trình bậc 3: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=\dfrac{d-1}{a} \\
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=\dfrac{c-2}{a}=9\Leftrightarrow c-2=9a \\
\end{aligned} \right. $thay$ x=\dfrac{-2}{c}=\dfrac{-2}{3a}\Leftrightarrow \text{3a=c}$ vào hệ
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=\dfrac{c-2}{a}=9\Leftrightarrow c-2=9a\Leftrightarrow 3a-2=9a\Leftrightarrow a=\dfrac{-1}{3}\Rightarrow c=-1$
Mà ta có $x=\dfrac{-2}{c}=2$ thì $y=g\left( \dfrac{-2}{c} \right)=g\left( 2 \right)$ ta được $y=1$ thay $1=g\left( 2 \right)=-2.{{(2)}^{2}}+4.2+d\Leftrightarrow d=-3$
Thay vào ${{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=\dfrac{d-1}{a}=\dfrac{-4}{\dfrac{-1}{3}}=12$