Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)={{2020}^{x}}-{{2020}^{-x}}+\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)$. Gọi ${{m}_{0}}$ là giá trị nhỏ nhất của tham số thực m để tập nghiệm của bất phương trình $f\left( \sqrt{{{\log }_{2}}x}.\log _{2}^{2}2x \right)+f\left[ \sqrt{\left( m+1 \right){{\log }_{2}}x}-\left( 4+\sqrt{m+1} \right)\sqrt{\log _{2}^{3}x} \right]\le 0$ chứa đúng 15 giá trị nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${{m}_{0}}\in \left( \dfrac{15}{2};\dfrac{17}{2} \right)$
B. ${{m}_{0}}\in \left( \dfrac{13}{2};7 \right]$
C. ${{m}_{0}}\in \left[ \dfrac{17}{2};9 \right)$
D. ${{m}_{0}}\in \left( 7;\dfrac{15}{2} \right)$
A. ${{m}_{0}}\in \left( \dfrac{15}{2};\dfrac{17}{2} \right)$
B. ${{m}_{0}}\in \left( \dfrac{13}{2};7 \right]$
C. ${{m}_{0}}\in \left[ \dfrac{17}{2};9 \right)$
D. ${{m}_{0}}\in \left( 7;\dfrac{15}{2} \right)$
Ta có $f\left( -x \right)={{2020}^{-x}}-{{2020}^{x}}+{{\ln }^{2019}}\left( -x+\sqrt{{{\left( -x \right)}^{2}}+1} \right)$
$={{2020}^{-x}}-{{2020}^{x}}+{{\ln }^{2019}}\left( \dfrac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right)={{2020}^{-x}}-{{2020}^{x}}+{{\ln }^{2019}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)=-f\left( x \right)$
Do đó $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ
Lại có ${f}'\left( x \right)={{2020}^{x}}\ln 2020+{{2020}^{-x}}\ln 2020+2019{{\ln }^{2018}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right).\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}>0 \left( \forall x \right)$
Suy ra $f\left( x \right)$ là hàm đồng biến.
Do đó GT $\Leftrightarrow f\left( \sqrt{{{\log }_{2}}x}.\log _{2}^{2}2x \right)\le -f\left( \sqrt{\left( m+1 \right){{\log }_{2}}x}-\left( 4+\sqrt{m+1} \right)\sqrt{\log _{2}^{3}x} \right)$
$\Leftrightarrow f\left( \sqrt{{{\log }_{2}}x}.\log _{2}^{2}2x \right)\le f\left( -\sqrt{\left( m+1 \right){{\log }_{2}}x}+\left( 4+\sqrt{m+1} \right)\sqrt{\log _{2}^{3}x} \right)$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\log }_{2}}x}.\log _{2}^{2}2x\le -\sqrt{\left( m+1 \right){{\log }_{2}}x}+\left( 4+\sqrt{m+1} \right)\sqrt{\log _{2}^{3}x}$ với điều kiện ${{\log }_{2}}x\ge 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& \log _{2}^{2}2x\le -\sqrt{m+1}+\left( 4+\sqrt{m+1} \right){{\log }_{2}}x\Leftrightarrow {{\left( 1+{{\log }_{2}}x \right)}^{2}}\le -\sqrt{m+1}+\left( 4+\sqrt{m+1} \right){{\log }_{2}}x \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-\left( 2+\sqrt{m+1} \right){{\log }_{2}}x+1+\sqrt{m+1}\le 0$
$\Leftrightarrow \left( {{\log }_{2}}x-1 \right)\left( {{\log }_{2}}x-\left( 1+\sqrt{m+1} \right) \right)\le 0\Leftrightarrow 1\le {{\log }_{2}}x\le 1+\sqrt{m+1}\Leftrightarrow 2\le x\le {{2}^{1+\sqrt{m+1}}}$
Để tập nghiệm của BPT chứa đúng 15 giá trị nguyên thì
${{2}^{1+\sqrt{m+1}}}-2=13\Leftrightarrow 1+\sqrt{m+1}={{\log }_{2}}15\Leftrightarrow m=7,45$.
$={{2020}^{-x}}-{{2020}^{x}}+{{\ln }^{2019}}\left( \dfrac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right)={{2020}^{-x}}-{{2020}^{x}}+{{\ln }^{2019}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)=-f\left( x \right)$
Do đó $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ
Lại có ${f}'\left( x \right)={{2020}^{x}}\ln 2020+{{2020}^{-x}}\ln 2020+2019{{\ln }^{2018}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right).\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}>0 \left( \forall x \right)$
Suy ra $f\left( x \right)$ là hàm đồng biến.
Do đó GT $\Leftrightarrow f\left( \sqrt{{{\log }_{2}}x}.\log _{2}^{2}2x \right)\le -f\left( \sqrt{\left( m+1 \right){{\log }_{2}}x}-\left( 4+\sqrt{m+1} \right)\sqrt{\log _{2}^{3}x} \right)$
$\Leftrightarrow f\left( \sqrt{{{\log }_{2}}x}.\log _{2}^{2}2x \right)\le f\left( -\sqrt{\left( m+1 \right){{\log }_{2}}x}+\left( 4+\sqrt{m+1} \right)\sqrt{\log _{2}^{3}x} \right)$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\log }_{2}}x}.\log _{2}^{2}2x\le -\sqrt{\left( m+1 \right){{\log }_{2}}x}+\left( 4+\sqrt{m+1} \right)\sqrt{\log _{2}^{3}x}$ với điều kiện ${{\log }_{2}}x\ge 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& \log _{2}^{2}2x\le -\sqrt{m+1}+\left( 4+\sqrt{m+1} \right){{\log }_{2}}x\Leftrightarrow {{\left( 1+{{\log }_{2}}x \right)}^{2}}\le -\sqrt{m+1}+\left( 4+\sqrt{m+1} \right){{\log }_{2}}x \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-\left( 2+\sqrt{m+1} \right){{\log }_{2}}x+1+\sqrt{m+1}\le 0$
$\Leftrightarrow \left( {{\log }_{2}}x-1 \right)\left( {{\log }_{2}}x-\left( 1+\sqrt{m+1} \right) \right)\le 0\Leftrightarrow 1\le {{\log }_{2}}x\le 1+\sqrt{m+1}\Leftrightarrow 2\le x\le {{2}^{1+\sqrt{m+1}}}$
Để tập nghiệm của BPT chứa đúng 15 giá trị nguyên thì
${{2}^{1+\sqrt{m+1}}}-2=13\Leftrightarrow 1+\sqrt{m+1}={{\log }_{2}}15\Leftrightarrow m=7,45$.
Đáp án A.