Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$. Biết rằng tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=f\left( f\left( \dfrac{2\sin x+1}{2} \right) \right)$ cắt đường thẳng $y=f\left( m \right)$ là đoạn $\left[ a;b \right]$. Khi đó tích $4ab$ bằng
A. 0
B. 4
C. –3
D. -4
A. 0
B. 4
C. –3
D. -4
Vì $-1\le \sin x\le 1\Rightarrow -\dfrac{1}{2}\le \dfrac{2\sin x+1}{2}\le \dfrac{3}{2}$
Xét $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$
Ta có $f'\left( x \right)=6{{x}^{2}}-6x;f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.;f\left( -\dfrac{1}{2} \right)=0;f\left( \dfrac{3}{2} \right)=1$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có: $x\in \left[ \dfrac{-1}{2};\dfrac{3}{2} \right]\Rightarrow f\left( x \right)\in \left[ 0;1 \right]; x\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow f\left( x \right)\in \left[ 0;1 \right]$
Đặt $\dfrac{2\sin x+1}{2}=t; u=f\left( \dfrac{2\sin x+1}{2} \right)$. Vì $t\in \left[ \dfrac{-1}{2};\dfrac{3}{2} \right]\Rightarrow u\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow f\left( u \right)\in \left[ 0;1 \right]$
Để đường thẳng $y=f\left( m \right)$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left( f\left( \dfrac{2\sin x+1}{2} \right) \right)$ khi và chỉ khi phương trình $f\left( u \right)=f\left( m \right)$ có nghiệm thuộc $\left[ 0;1 \right]$ nên $f\left( m \right)\in \left[ 0;1 \right]$
Từ bảng biến thiên ta được $-\dfrac{1}{2}\le m\le \dfrac{3}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{2} \\
& b=\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 4ab=-3$
Xét $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$
Ta có $f'\left( x \right)=6{{x}^{2}}-6x;f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.;f\left( -\dfrac{1}{2} \right)=0;f\left( \dfrac{3}{2} \right)=1$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có: $x\in \left[ \dfrac{-1}{2};\dfrac{3}{2} \right]\Rightarrow f\left( x \right)\in \left[ 0;1 \right]; x\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow f\left( x \right)\in \left[ 0;1 \right]$
Đặt $\dfrac{2\sin x+1}{2}=t; u=f\left( \dfrac{2\sin x+1}{2} \right)$. Vì $t\in \left[ \dfrac{-1}{2};\dfrac{3}{2} \right]\Rightarrow u\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow f\left( u \right)\in \left[ 0;1 \right]$
Để đường thẳng $y=f\left( m \right)$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left( f\left( \dfrac{2\sin x+1}{2} \right) \right)$ khi và chỉ khi phương trình $f\left( u \right)=f\left( m \right)$ có nghiệm thuộc $\left[ 0;1 \right]$ nên $f\left( m \right)\in \left[ 0;1 \right]$
Từ bảng biến thiên ta được $-\dfrac{1}{2}\le m\le \dfrac{3}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{2} \\
& b=\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 4ab=-3$
Đáp án C.