Cho hàm số $y=\dfrac{x+m}{x+1}$ với $m$ là tham số thực, thoả mãn...

TXĐ: . Có .
TH1: là hàm hằng và không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH2: Hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định .
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 1 \right) \\
& \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 2 \right) \\
& \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} y+\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} y= y\left( 2 \right)+y\left( 1 \right) =\dfrac{2+m}{3}+\dfrac{1+m}{2}\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} y+\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} y=\dfrac{17}{6}\Leftrightarrow \dfrac{2+m}{3}+\dfrac{1+m}{2}=\dfrac{17}{6}\Leftrightarrow 4+2m+3+3m=17\Leftrightarrow 5m=10\Leftrightarrow m=2$.