Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x+m}{x+1}$ với $m$ là tham số thực, thoả mãn : $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} y+\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} y=\dfrac{17}{6}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $m\le 0$.
B. $2<m\le 4$.
C. $m>4$.
D. $0<m\le 2$.
A. $m\le 0$.
B. $2<m\le 4$.
C. $m>4$.
D. $0<m\le 2$.
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}$. Có ${y}'=\dfrac{1-m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$.
TH1: $m=1$ $\Rightarrow y=1$ là hàm hằng và không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH2: $m\ne 1$ $\Rightarrow $ Hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định $\left( -\infty ;-1 \right),$ $\left( -1;+\infty \right)$.
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 1 \right) \\
& \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 2 \right) \\
& \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} y+\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} y= $ $ y\left( 2 \right)+y\left( 1 \right) $ $ =\dfrac{2+m}{3}+\dfrac{1+m}{2}$.
Theo giả thiết:
$\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} y+\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} y=\dfrac{17}{6}$ $\Leftrightarrow \dfrac{2+m}{3}+\dfrac{1+m}{2}=\dfrac{17}{6}$ $\Leftrightarrow 4+2m+3+3m=17\Leftrightarrow 5m=10\Leftrightarrow m=2$.
TH1: $m=1$ $\Rightarrow y=1$ là hàm hằng và không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH2: $m\ne 1$ $\Rightarrow $ Hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định $\left( -\infty ;-1 \right),$ $\left( -1;+\infty \right)$.
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 1 \right) \\
& \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 2 \right) \\
& \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} y+\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} y= $ $ y\left( 2 \right)+y\left( 1 \right) $ $ =\dfrac{2+m}{3}+\dfrac{1+m}{2}$.
Theo giả thiết:
$\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} y+\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} y=\dfrac{17}{6}$ $\Leftrightarrow \dfrac{2+m}{3}+\dfrac{1+m}{2}=\dfrac{17}{6}$ $\Leftrightarrow 4+2m+3+3m=17\Leftrightarrow 5m=10\Leftrightarrow m=2$.
Đáp án D.