Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x+m}{x+1}$ (m là tham số thực) thỏa mãn $\underset{1;2}{\mathop{\min }} y+\underset{1;2}{\mathop{max}} y=\dfrac{16}{3}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $0<m\le 2$
B. $2<m\le 4$
C. $m\le 0$
D. $m>4$
A. $0<m\le 2$
B. $2<m\le 4$
C. $m\le 0$
D. $m>4$
Ta có ${y}'=\dfrac{1-m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$.
Nếu $m=1\Rightarrow y=1$. Không thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Nếu $m<1\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$, suy ra $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} y+\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} y=\dfrac{16}{3}$
$\Leftrightarrow \dfrac{m+1}{2}+\dfrac{m+2}{3}=\dfrac{16}{3}\Leftrightarrow m=5$ (loại).
Nếu $m>1\Rightarrow $ Hàm số nghịch biến trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$,
Suy ra $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} y+\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( 2 \right)+y\left( 1 \right)\Leftrightarrow \dfrac{2+m}{3}+\dfrac{1+m}{2}=\dfrac{16}{3}\Leftrightarrow m=5$
Nếu $m=1\Rightarrow y=1$. Không thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Nếu $m<1\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$, suy ra $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} y+\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} y=\dfrac{16}{3}$
$\Leftrightarrow \dfrac{m+1}{2}+\dfrac{m+2}{3}=\dfrac{16}{3}\Leftrightarrow m=5$ (loại).
Nếu $m>1\Rightarrow $ Hàm số nghịch biến trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$,
Suy ra $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} y+\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( 2 \right)+y\left( 1 \right)\Leftrightarrow \dfrac{2+m}{3}+\dfrac{1+m}{2}=\dfrac{16}{3}\Leftrightarrow m=5$
Đáp án D.