Cho hàm số $y=\dfrac{x-3}{{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+\left(...

Gọi (C) là đồ thị hàm số $y=\dfrac{x-3}{{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+\left( 2{{m}^{2}}+1 \right)x-m}$.
Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{x-3}{{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+\left( 2{{m}^{2}}+1 \right)x+m}=0$ nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là $y=0$.
Do đó $\left( C \right)$ có 4 đường tiệm cận khi và chỉ khi $\left( C \right)$ có 3 đường tiệm cận đứng
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+\left( 2{{m}^{2}}+1 \right)x+m=0\left( 1 \right)$ có 3 nghiệm phân biệt khác 3.
Ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( x-m \right)\left( {{x}^{2}}-2mx+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m \\
& {{x}^{2}}-2mx+1=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khác 3 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 3 \\
& {{m}^{2}}-1>0 \\
& {{m}^{2}}-2{{m}^{2}}+1\ne 0 \\
& {{3}^{2}}-6m+1\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 3 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m<-1 \\
& m>1 \\
\end{aligned} \right. \\
& m\ne \dfrac{5}{3} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 1;\dfrac{5}{3} \right)\cup \left( \dfrac{5}{3};3 \right)\cup \left( 3;+\infty \right)$.
Do $m\in \left[ -6;6 \right]$, $m$ nguyên nên $m\in \left\{ -6;-5;-4;-3;-2;2;4;5;6 \right\}$.
Vậy có 9 giá trị $m$ thỏa mãn.