Cho hàm số $y=\dfrac{x+3}{x-1}$ có đồ thị là $\left( C \right)$...

Gọi $M\left( m;1-2m \right)\in d$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $M$ có hệ số góc là $k$, khi đó phương trình đường thẳng $\Delta :y=k\left( x-m \right)+1-2m.$
Để $\Delta $ là tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ thì hệ phương trình.
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x+3}{x-1}=k\left( x-m \right)+1-2m \\
& -\dfrac{4}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=k \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm.
Thay $k=-\dfrac{4}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$ vào phương trình $\dfrac{x+3}{x-1}=k\left( x-m \right)+1-2m$ ta được:
Qua $M$ kẻ được hai tiếp tuyến với $\left( C \right)$ khi và chỉ khi phương trình $g\left( x \right)=m{{x}^{2}}+2\left( 2-m \right)x-m-2=0$ có hai nghiệm phân biệt $x\ne 1$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=m\ne 0 \\
& {\Delta }'={{\left( 2-m \right)}^{2}}+m\left( m+2 \right)>0 \\
& g\left( 1 \right)=m+4-2m-m-2\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 0 \\
& m\ne 1 \\
\end{aligned} \right..$
Gọi $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right),B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$ là hai tiếp điểm, với ${{x}_{A}},{{x}_{B}}$ là hai nghiệm của phương trình (*). Theo định lí Vi-et ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=\dfrac{2\left( m-2 \right)}{m} \\
& {{x}_{A}}{{x}_{B}}=-\dfrac{m+2}{m} \\
\end{aligned} \right..$
Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ thì $I\left( \dfrac{m-2}{m};\dfrac{m+3}{m-1} \right).$
Mặt khác $\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}};\dfrac{2m\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}{m-1} \right)\Rightarrow $ một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{n}=\left( 2m;1-m \right)$.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $AB$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 2m;1-m \right)$ và đi qua điểm $I\left( \dfrac{m-2}{m};\dfrac{m+3}{m-1} \right)$ là $2mx+\left( 1-m \right)y+7-m=0$
Gọi $H\left( {{x}_{H}};{{y}_{H}} \right)$ là điểm cố định mà đường thẳng $AB$ đi qua.
Khi đó, $2m{{x}_{H}}+\left( 1-m \right){{y}_{H}}-m+7=0\Leftrightarrow m\left( 2{{x}_{H}}-{{y}_{H}}-1 \right)+{{y}_{H}}+7=0$ với mọi $m\ne 0$ và $m\ne 1$. Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& 2{{x}_{H}}-{{y}_{H}}-1=0 \\
& {{y}_{H}}+7=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{H}}=-3 \\
& {{y}_{H}}=-7 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( -3;-7 \right).$
Vậy $OH=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -7 \right)}^{2}}}=\sqrt{58}.$