Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-2}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Có bao nhiêu điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng $3x+y-1=0$ ?
A. 0.
B. 1.
C. 3.
D. 2.
A. 0.
B. 1.
C. 3.
D. 2.
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$
${y}'=\dfrac{-3}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}.$
Giả sử $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right),{{x}_{0}}\ne 2.$
Vì tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng $3x+y-1=0$ nên
${y}'\left( {{x}_{0}} \right)=-3\Leftrightarrow \dfrac{-3}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}=-3\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=3 \\
& {{x}_{0}}=1 \\
\end{aligned} \right.$
$y=-3\left( x-3 \right)+4\Rightarrow y=-3x+13$ (thỏa mãn yêu cầu bài toán)
$y=-3\left( x-1 \right)-2\Rightarrow y=-3x+1$ (không thỏa mãn yêu cầu bài toán do trùng với đường thẳng $3x+y-1=0$ )
${y}'=\dfrac{-3}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}.$
Giả sử $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right),{{x}_{0}}\ne 2.$
Vì tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng $3x+y-1=0$ nên
${y}'\left( {{x}_{0}} \right)=-3\Leftrightarrow \dfrac{-3}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}=-3\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=3 \\
& {{x}_{0}}=1 \\
\end{aligned} \right.$
- Với ${{x}_{0}}=3\Rightarrow {{y}_{0}}=4.$
$y=-3\left( x-3 \right)+4\Rightarrow y=-3x+13$ (thỏa mãn yêu cầu bài toán)
- Với ${{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=-2.$
$y=-3\left( x-1 \right)-2\Rightarrow y=-3x+1$ (không thỏa mãn yêu cầu bài toán do trùng với đường thẳng $3x+y-1=0$ )
Đáp án B.