Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right).$ Giả sử A,B là hai điểm thuộc $\left( C \right)$ và đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận. Dựng hình vuông AEBF. Diện tích nhỏ nhất của hình vuông AEBF là
A. ${{S}_{\min }}=8\sqrt{2}.$
B. ${{S}_{\min }}=4\sqrt{2}.$
C. ${{S}_{\min }}=8.$
D. ${{S}_{\min }}=16.$
B. ${{S}_{\min }}=4\sqrt{2}.$
C. ${{S}_{\min }}=8.$
D. ${{S}_{\min }}=16.$
Gọi $A\left( a;\dfrac{a+1}{a-1} \right),$ vì $I\left( 1;1 \right)$ là trung điểm của $AB\Rightarrow B\left( 2-a;\dfrac{a-3}{a-1} \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 2-2a;-\dfrac{4}{a-1} \right)\Rightarrow A{{B}^{2}}=4{{\left( a-1 \right)}^{2}}+\dfrac{16}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}\ge 2\sqrt{4{{\left( a-1 \right)}^{2}}.\dfrac{16}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}}=16$
$\Rightarrow {{S}_{AEBF}}=A{{E}^{2}}=\dfrac{1}{2}A{{B}^{2}}\ge 8\Rightarrow {{S}_{\min }}=8.$ Chọn C.
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 2-2a;-\dfrac{4}{a-1} \right)\Rightarrow A{{B}^{2}}=4{{\left( a-1 \right)}^{2}}+\dfrac{16}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}\ge 2\sqrt{4{{\left( a-1 \right)}^{2}}.\dfrac{16}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}}=16$
$\Rightarrow {{S}_{AEBF}}=A{{E}^{2}}=\dfrac{1}{2}A{{B}^{2}}\ge 8\Rightarrow {{S}_{\min }}=8.$ Chọn C.
Đáp án C.