Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{\left| {{\sin }^{2}}x-\left( m+1 \right)\sin x+2m+2 \right|}{\sin x-2}$ (với $m$ là tham số thực). Giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi $m$ bằng
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $-1$.
C. $\dfrac{-3}{2}$.
D. $\dfrac{-1}{2}$.
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $-1$.
C. $\dfrac{-3}{2}$.
D. $\dfrac{-1}{2}$.
Ta có: $y=-\left| \dfrac{{{\sin }^{2}}x-\left( m+1 \right)\sin x+2m+2}{2-\sin x} \right|$ vì $\sin x<2,\forall x\in \mathbb{R}$
Đặt $t=\sin x, \left( t\in \left[ -1;1 \right] \right)$, đặt $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-\left( m+1 \right)t+2m+2}{2-t}$.
Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{-{{t}^{2}}+4t}{{{\left( 2-t \right)}^{2}}}$, ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=0,t=4(loai)$
Khi đó: $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( -1 \right)=m+\dfrac{4}{3} \\
& f\left( 0 \right)=m+1=\underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=a \\
& f\left( 1 \right)=m+2=\underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=A \\
\end{aligned} \right.$
Nên $\underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( t \right) \right|=\dfrac{\left| A+a \right|+\left| A-a \right|}{2}=\dfrac{\left| 2m+3 \right|+1}{2}\ge \dfrac{1}{2}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow 2m+3=0\Leftrightarrow m=\dfrac{-3}{2}$.
Đặt $t=\sin x, \left( t\in \left[ -1;1 \right] \right)$, đặt $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-\left( m+1 \right)t+2m+2}{2-t}$.
Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{-{{t}^{2}}+4t}{{{\left( 2-t \right)}^{2}}}$, ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=0,t=4(loai)$
Khi đó: $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( -1 \right)=m+\dfrac{4}{3} \\
& f\left( 0 \right)=m+1=\underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=a \\
& f\left( 1 \right)=m+2=\underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=A \\
\end{aligned} \right.$
Nên $\underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} \left| f\left( t \right) \right|=\dfrac{\left| A+a \right|+\left| A-a \right|}{2}=\dfrac{\left| 2m+3 \right|+1}{2}\ge \dfrac{1}{2}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow 2m+3=0\Leftrightarrow m=\dfrac{-3}{2}$.
Đáp án C.