Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{5}{6}{{x}^{3}}+mx-\dfrac{2}{3}m$ có đồ thị (C), với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để từ điểm $A\left( \dfrac{2}{3};0 \right)$ kẻ đến (C) được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Tính tổng tất cả các phần tử của $S.$
A. $\dfrac{3}{2}.$
B. $-\dfrac{3}{2}.$
C. $\dfrac{5}{2}.$
D. $-\dfrac{5}{2}.$
A. $\dfrac{3}{2}.$
B. $-\dfrac{3}{2}.$
C. $\dfrac{5}{2}.$
D. $-\dfrac{5}{2}.$
Tiếp tuyến $d:y=k\left( x-\dfrac{2}{3} \right).$
Điều kiện tiếp xúc là hệ sau có nghiệm
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{5}{6}{{x}^{3}}+mx-\dfrac{2}{3}m=k\left( x-\dfrac{2}{3} \right) \\
& \dfrac{5}{2}{{x}^{2}}+m=k \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{5}{6}{{x}^{3}}+mx-\dfrac{2}{3}m=\left( \dfrac{5}{2}{{x}^{2}}+m \right)\left( x-\dfrac{2}{3} \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{5}{6}{{x}^{3}}+mx-\dfrac{2}{3}m=\dfrac{5}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{5}{3}{{x}^{2}}+mx-\dfrac{2}{3}m\Leftrightarrow \dfrac{5}{6}{{x}^{3}}=\dfrac{5}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{5}{3}{{x}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=1 \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
k=m \\
k=m+\dfrac{5}{2} \\
\end{array} \right.$
Hai tiếp tuyến có hệ số góc
${{k}_{1}}=m;{{k}_{2}}=m+\dfrac{5}{2}\xrightarrow{{}}{{k}_{1}}{{k}_{2}}=-1\Leftrightarrow m\left( m+\dfrac{5}{2} \right)=-1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{1}{2} \\
& m=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Điều kiện tiếp xúc là hệ sau có nghiệm
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{5}{6}{{x}^{3}}+mx-\dfrac{2}{3}m=k\left( x-\dfrac{2}{3} \right) \\
& \dfrac{5}{2}{{x}^{2}}+m=k \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{5}{6}{{x}^{3}}+mx-\dfrac{2}{3}m=\left( \dfrac{5}{2}{{x}^{2}}+m \right)\left( x-\dfrac{2}{3} \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{5}{6}{{x}^{3}}+mx-\dfrac{2}{3}m=\dfrac{5}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{5}{3}{{x}^{2}}+mx-\dfrac{2}{3}m\Leftrightarrow \dfrac{5}{6}{{x}^{3}}=\dfrac{5}{2}{{x}^{3}}-\dfrac{5}{3}{{x}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=1 \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
k=m \\
k=m+\dfrac{5}{2} \\
\end{array} \right.$
Hai tiếp tuyến có hệ số góc
${{k}_{1}}=m;{{k}_{2}}=m+\dfrac{5}{2}\xrightarrow{{}}{{k}_{1}}{{k}_{2}}=-1\Leftrightarrow m\left( m+\dfrac{5}{2} \right)=-1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{1}{2} \\
& m=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Đáp án D.