Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $M(a; b)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ dương sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai tiệm cận của $\left( C \right)$ nhỏ nhất. Khi đó tổng $a+2b$ bằng
A. $8$.
B. $5$.
C. $2$.
D. $7$.
Hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x-1}$ có đường tiệm cận ngang $y=2$ và đường tiệm cận đứng $x=1$. Khi đó:
+) Khoảng cách từ $M(a; b)$ đến tiệm cận ngang là: $\left| b-2 \right|=\left| \dfrac{2a-1}{a-1}-2 \right|=\dfrac{1}{\left| a-1 \right|}$ (do $M$ thuộc $\left( C \right)$ );
+) Khoảng cách từ $M(a; b)$ đến tiệm cận đứng là: $\left| a-1 \right|$.
Ta có $\left| a-1 \right|+\dfrac{1}{\left| a-1 \right|}\ge 2\sqrt{\left| a-1 \right|\dfrac{1}{\left| a-2 \right|}}=2$. Vậy tổng khoảng cách nhỏ nhất là $2$ khi $\left| a-1 \right|=\dfrac{1}{\left| a-1 \right|}\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0\left( l \right) \\
& a=2 \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ b=\dfrac{2.2-1}{2-1}=3\Rightarrow a+2b=8$.
A. $8$.
B. $5$.
C. $2$.
D. $7$.
Hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x-1}$ có đường tiệm cận ngang $y=2$ và đường tiệm cận đứng $x=1$. Khi đó:
+) Khoảng cách từ $M(a; b)$ đến tiệm cận ngang là: $\left| b-2 \right|=\left| \dfrac{2a-1}{a-1}-2 \right|=\dfrac{1}{\left| a-1 \right|}$ (do $M$ thuộc $\left( C \right)$ );
+) Khoảng cách từ $M(a; b)$ đến tiệm cận đứng là: $\left| a-1 \right|$.
Ta có $\left| a-1 \right|+\dfrac{1}{\left| a-1 \right|}\ge 2\sqrt{\left| a-1 \right|\dfrac{1}{\left| a-2 \right|}}=2$. Vậy tổng khoảng cách nhỏ nhất là $2$ khi $\left| a-1 \right|=\dfrac{1}{\left| a-1 \right|}\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0\left( l \right) \\
& a=2 \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ b=\dfrac{2.2-1}{2-1}=3\Rightarrow a+2b=8$.
Đáp án A.