Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{2x-1}{2x-2}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ (với ${{x}_{0}}>1$ ) là điểm thuộc $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho ${{S}_{\Delta OIB}}=8{{S}_{\Delta OIA}}$ (trong đó $O$ là gốc tọa độ, $I$ là giao điểm hai tiệm cận).
Tính giá trị của $S={{x}_{0}}+4{{y}_{0}}$.
A. $S=8$.
B. $S=\dfrac{17}{4}$.
C. $S=\dfrac{23}{4}$.
D. $S=2$.
Tính giá trị của $S={{x}_{0}}+4{{y}_{0}}$.
A. $S=8$.
B. $S=\dfrac{17}{4}$.
C. $S=\dfrac{23}{4}$.
D. $S=2$.
Ta có ${y}'=\dfrac{-2}{{{\left( 2x-2 \right)}^{2}}}$
Ta có: ${{S}_{\Delta OIB}}=8{{S}_{\Delta OIA}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}OI.IB.\sin \widehat{OIB}=8\dfrac{1}{2}OI.IA.\sin \widehat{OIA}$
$\Leftrightarrow IB=8IA\Leftrightarrow \dfrac{IA}{IB}=\dfrac{1}{8}$.
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại $M$ là
$\left| k \right|=\dfrac{1}{8}\Rightarrow {y}'=\dfrac{-2}{{{\left( 2x-2 \right)}^{2}}}=-\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3\Rightarrow y=\dfrac{5}{4} \\
& x=-1\Rightarrow y=\dfrac{3}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Với ${{x}_{0}}=3,{{y}_{0}}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow S={{x}_{0}}+4{{y}_{0}}=3+5=8$.
Ta có: ${{S}_{\Delta OIB}}=8{{S}_{\Delta OIA}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}OI.IB.\sin \widehat{OIB}=8\dfrac{1}{2}OI.IA.\sin \widehat{OIA}$
$\Leftrightarrow IB=8IA\Leftrightarrow \dfrac{IA}{IB}=\dfrac{1}{8}$.
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại $M$ là
$\left| k \right|=\dfrac{1}{8}\Rightarrow {y}'=\dfrac{-2}{{{\left( 2x-2 \right)}^{2}}}=-\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3\Rightarrow y=\dfrac{5}{4} \\
& x=-1\Rightarrow y=\dfrac{3}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Với ${{x}_{0}}=3,{{y}_{0}}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow S={{x}_{0}}+4{{y}_{0}}=3+5=8$.
Đáp án A.