Cho hàm số $y=\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}+\left( m+1...

Ta có $y'=2{{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+4m+3$
Hàm số có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\Leftrightarrow $ phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$
$\Leftrightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}+4m+3 \right)>0\Leftrightarrow -5<m<-1$
Theo định lí Vi-et, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\left( m+1 \right) \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{{{m}^{2}}+4m+3}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $P=\left| {{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right) \right|=\left| \dfrac{{{m}^{2}}+8m+7}{2} \right|$
Xét hàm số $f\left( m \right)=\dfrac{{{m}^{2}}+8m+7}{2},m\in \left( -5;-1 \right)$
Ta có $f'\left( m \right)=\dfrac{2m+8}{2}=m+4$
$f'\left( m \right)=0\Leftrightarrow m=-4$
Bảng biến thiên
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy $-\dfrac{9}{2}\le f\left( m \right)<0\Rightarrow 0<\left| f\left( m \right) \right|\le \dfrac{9}{2}$
Vậy ${{P}_{\max }}=\dfrac{9}{2}$, đạt được khi $m=-4$