Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3}m{{x}^{3}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}+3\left( m-2 \right)x+2018$ với $m$ là tham số. Tổng bình phương tất cả các giá trị của $m$ để hàm số có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=1$ bằng
A. $\dfrac{25}{4}$.
B. $\dfrac{22}{9}$.
C. $\dfrac{8}{3}$.
D. $\dfrac{40}{9}$.
A. $\dfrac{25}{4}$.
B. $\dfrac{22}{9}$.
C. $\dfrac{8}{3}$.
D. $\dfrac{40}{9}$.
Ta có : ${y}'=m{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+3\left( m-2 \right)=0 \left( * \right)$
Hàm số có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=1$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& m\ne 0 \\
& {\Delta }'>0 \left( 1 \right) \\
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=1 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow -2{{m}^{2}}+4m+1>0\Leftrightarrow \dfrac{2-\sqrt{6}}{2}<m<\dfrac{2+\sqrt{6}}{2} \left( * \right)$
Mặt khác ta có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{2\left( m-1 \right)}{m} \left( 3 \right)$
Từ (2) và (3) ta có ${{x}_{2}}=\dfrac{2-m}{m}$ mà ${{x}_{2}}$ là nghiệm của (*) nên
$m{{\left( \dfrac{2-m}{m} \right)}^{2}}-2\left( m-1 \right).\dfrac{2-m}{m}+3m-6=0\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}-8m+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2 \\
& m=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.$ thỏa mãn (*).
Vậy tổng bình phương các giá trị của $m$ là ${{2}^{2}}+{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{40}{9}$.
Hàm số có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=1$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& m\ne 0 \\
& {\Delta }'>0 \left( 1 \right) \\
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=1 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow -2{{m}^{2}}+4m+1>0\Leftrightarrow \dfrac{2-\sqrt{6}}{2}<m<\dfrac{2+\sqrt{6}}{2} \left( * \right)$
Mặt khác ta có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{2\left( m-1 \right)}{m} \left( 3 \right)$
Từ (2) và (3) ta có ${{x}_{2}}=\dfrac{2-m}{m}$ mà ${{x}_{2}}$ là nghiệm của (*) nên
$m{{\left( \dfrac{2-m}{m} \right)}^{2}}-2\left( m-1 \right).\dfrac{2-m}{m}+3m-6=0\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}-8m+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2 \\
& m=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.$ thỏa mãn (*).
Vậy tổng bình phương các giá trị của $m$ là ${{2}^{2}}+{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{40}{9}$.
Đáp án D.