Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có đồ thị $\left( C \right)$, biết rằng $\left( C \right)$ đi qua điểm $A\left( -1;0 \right)$, tiếp tuyến $d$ tại $A$ của $\left( C \right)$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm có hoành độ lần lượt là $0$ và $2$ và diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$, đồ thị $\left( C \right)$ và hai đường thẳng $x=0$ ; $x=2$ có diện tích bằng $\dfrac{28}{5}$ (phần tô màu trong hình vẽ).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$ và hai đường thẳng $x=-1$ ; $x=0$ có diện tích bằng
A. $\dfrac{2}{5}$.
B. $\dfrac{1}{4}$.
C. $\dfrac{2}{9}$.
D. $\dfrac{1}{5}$.
A. $\dfrac{2}{5}$.
B. $\dfrac{1}{4}$.
C. $\dfrac{2}{9}$.
D. $\dfrac{1}{5}$.
Ta có ${y}'=4a{{x}^{3}}+2bx$ $\Rightarrow $ $d:y=\left( -4a-2b \right)\left( x+1 \right)$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( C \right)$ là: $\left( -4a-2b \right)\left( x+1 \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\left( 1 \right)$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ phải cho $2$ nghiệm là $x=0$, $x=2$.
$\Rightarrow $ $\left\{ \begin{aligned}
& -4a-2b=c \\
& -12a-6b=16a+4b+c \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -4a-2b-c=0\left( 2 \right) \\
& 28a+10b+c=0\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Mặt khác, diện tích phần tô màu là $\dfrac{28}{5}=\int\limits_{0}^{2}{\left[ \left( -4a-2b \right)\left( x+1 \right)-a{{x}^{4}}-b{{x}^{2}}-c \right]\text{d}x}$
$\Leftrightarrow \dfrac{28}{5}=4\left( -4a-2b \right)-\dfrac{32}{5}a-\dfrac{8}{3}b-2c$ $\Leftrightarrow \dfrac{112}{5}a+\dfrac{32}{3}b+2c=-\dfrac{28}{5}\left( 4 \right)$.
Giải hệ 3 phương trình $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ ta được $a=1$, $b=-3$, $c=2$.
Khi đó, $\left( C \right):y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2$, $d:y=2\left( x+1 \right)$.
Diện tích cần tìm là $S=\int\limits_{-1}^{0}{\left[ {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2-2\left( x+1 \right) \right]\text{d}x}$ $=\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2x \right)dx=\dfrac{1}{5}}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( C \right)$ là: $\left( -4a-2b \right)\left( x+1 \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\left( 1 \right)$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ phải cho $2$ nghiệm là $x=0$, $x=2$.
$\Rightarrow $ $\left\{ \begin{aligned}
& -4a-2b=c \\
& -12a-6b=16a+4b+c \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -4a-2b-c=0\left( 2 \right) \\
& 28a+10b+c=0\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Mặt khác, diện tích phần tô màu là $\dfrac{28}{5}=\int\limits_{0}^{2}{\left[ \left( -4a-2b \right)\left( x+1 \right)-a{{x}^{4}}-b{{x}^{2}}-c \right]\text{d}x}$
$\Leftrightarrow \dfrac{28}{5}=4\left( -4a-2b \right)-\dfrac{32}{5}a-\dfrac{8}{3}b-2c$ $\Leftrightarrow \dfrac{112}{5}a+\dfrac{32}{3}b+2c=-\dfrac{28}{5}\left( 4 \right)$.
Giải hệ 3 phương trình $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ ta được $a=1$, $b=-3$, $c=2$.
Khi đó, $\left( C \right):y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2$, $d:y=2\left( x+1 \right)$.
Diện tích cần tìm là $S=\int\limits_{-1}^{0}{\left[ {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2-2\left( x+1 \right) \right]\text{d}x}$ $=\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2x \right)dx=\dfrac{1}{5}}$.
Đáp án D.