Cho hàm số $y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4x+5\left( C \right)$. Trong...

Ta có $y'=6{{x}^{2}}+6x-4$
Gọi $M\left( {{x}_{0}};2x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+5 \right)\in \left( C \right)$ là tiếp điểm
Tiếp tuyến d của $\left( C \right)$ tại M có hệ số góc $k=y'\left( {{x}_{0}} \right)=6x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}-4$
Ta có $k=6x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}-4={{\left( {{x}_{0}}+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{11}{2}\ge -\dfrac{11}{2}$
Vậy ${{k}_{\min }}=-\dfrac{11}{2}$, đạt được khi ${{x}_{0}}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{y}_{0}}=\dfrac{15}{2}\Rightarrow M\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{15}{2} \right)$
Điểm M chính là điểm uốn của $\left( C \right)$
Chú ý: Cho hàm số bậc ba $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left( C \right)$
Nếu $a>0$ thì tồn tại tiếp tuyến của $\left( C \right)$ có hệ số góc nhỏ nhất.
Nếu $a<0$ thì tồn tại tiếp tuyến của $\left( C \right)$ có hệ số góc lớn nhất.
Cả hai trường hợp trên thì tiếp tuyến cần tìm chính là tiếp tuyến tạo điểm uốn.