Google
Câu hỏi: Cho hàm số $\left( C \right):y=\dfrac{3x-2m}{mx+1}$ với $m$ là tham số. Biết rằng với $m\ne 0$, đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng $y=3x-3m$ tại hai điểm phân biệt $A,B$. Tích tất cả các giá trị của tham số $m$ tìm được để đường thẳng $d$ cắt các trục $Ox,Oy$ lần lượt tại hai điểm $C,D$ sao cho diện tích tam giác $OAB$ bằng 2 lần diện tích tam giác $OCD$
A. $-\dfrac{4}{9}$
B. $-4$
C. $-1$
D. 0
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $d$ là: $\dfrac{3x-2m}{mx+1}=3x-3m\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3mx-1=0 (1)$
$d$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt
$\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta =9{{m}^{2}}+12>0,\forall m\ne 0$
Khi đó gọi $A\left( {{x}_{1}};3{{x}_{1}}-3m \right);B\left( {{x}_{2}};3{{x}_{2}}-3m \right)$ với ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của (1)
Theo định lí Vi-et ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m;{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}};3\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right) \right)\Rightarrow A{{B}^{2}}=10{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}=10\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right]=10\left( {{m}^{2}}+\dfrac{4}{3} \right)$ $d$ cắt các trục $Ox;Oy$ lần lượt tại $C\left( m;0 \right);D\left( 0;-3m \right)\Rightarrow C{{D}^{2}}=10{{m}^{2}}$
${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}AB.OH;{{S}_{\Delta OCD}}=\dfrac{1}{2}CD.OH$
${{S}_{\Delta OAB}}=2{{S}_{\Delta OCD}}\Leftrightarrow AB=2CD\Leftrightarrow A{{B}^{2}}=4C{{D}^{2}}$
$\Leftrightarrow 10\left( {{m}^{2}}+\dfrac{4}{3} \right)=4.10{{m}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}=\dfrac{4}{9}$
$\Leftrightarrow {{m}_{1}}=-\dfrac{2}{3};{{m}_{2}}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{m}_{1}}.{{m}_{2}}=-\dfrac{4}{9}$
A. $-\dfrac{4}{9}$
B. $-4$
C. $-1$
D. 0
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $d$ là: $\dfrac{3x-2m}{mx+1}=3x-3m\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3mx-1=0 (1)$
$d$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt
$\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta =9{{m}^{2}}+12>0,\forall m\ne 0$
Khi đó gọi $A\left( {{x}_{1}};3{{x}_{1}}-3m \right);B\left( {{x}_{2}};3{{x}_{2}}-3m \right)$ với ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của (1)
Theo định lí Vi-et ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m;{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}};3\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right) \right)\Rightarrow A{{B}^{2}}=10{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}=10\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right]=10\left( {{m}^{2}}+\dfrac{4}{3} \right)$ $d$ cắt các trục $Ox;Oy$ lần lượt tại $C\left( m;0 \right);D\left( 0;-3m \right)\Rightarrow C{{D}^{2}}=10{{m}^{2}}$
${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}AB.OH;{{S}_{\Delta OCD}}=\dfrac{1}{2}CD.OH$
${{S}_{\Delta OAB}}=2{{S}_{\Delta OCD}}\Leftrightarrow AB=2CD\Leftrightarrow A{{B}^{2}}=4C{{D}^{2}}$
$\Leftrightarrow 10\left( {{m}^{2}}+\dfrac{4}{3} \right)=4.10{{m}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}=\dfrac{4}{9}$
$\Leftrightarrow {{m}_{1}}=-\dfrac{2}{3};{{m}_{2}}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{m}_{1}}.{{m}_{2}}=-\dfrac{4}{9}$
Đáp án A.