Google
Câu hỏi: Cho hàm số $g\left( x \right)$ liên tục trên K và các số $b>a>0$ thuộc K. Mệnh đề nào sai?
A. $\int\limits_{-a}^{a}{g\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{a}{\left( g\left( x \right)+g\left( -x \right) \right)dx.}$
B. $g\left( x \right)$ là hàm chẵn thì $\int\limits_{-b}^{b}{g\left( x \right).dx=2\int\limits_{0}^{b}{g\left( x \right)dx.}}$
C. $g\left( x \right)$ là hàm lẻ thì $\int\limits_{-a}^{a}{g\left( x \right)dx=0.}$
D. $\int\limits_{0}^{b}{g\left( x \right)dx=-\int\limits_{0}^{b}{g\left( b-x \right)dx.}}$
A. $\int\limits_{-a}^{a}{g\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{a}{\left( g\left( x \right)+g\left( -x \right) \right)dx.}$
B. $g\left( x \right)$ là hàm chẵn thì $\int\limits_{-b}^{b}{g\left( x \right).dx=2\int\limits_{0}^{b}{g\left( x \right)dx.}}$
C. $g\left( x \right)$ là hàm lẻ thì $\int\limits_{-a}^{a}{g\left( x \right)dx=0.}$
D. $\int\limits_{0}^{b}{g\left( x \right)dx=-\int\limits_{0}^{b}{g\left( b-x \right)dx.}}$
A. Đúng. Đặt $x=-t\Rightarrow dx=-dt$ và $x=-a\Rightarrow t=a;x=0\Rightarrow t=0$
Thì $\int\limits_{-a}^{a}{g\left( x \right)dx}=\int\limits_{-a}^{0}{g\left( x \right)dx+\int\limits_{0}^{a}{g\left( x \right)dx=-\int\limits_{a}^{0}{g\left( -t \right)dt+\int\limits_{0}^{a}{g\left( x \right)dx=\int\limits_{0}^{a}{\left( g\left( x \right)+g\left( -x \right) \right)dx\left( * \right)}}}}}$
B.Đúng, vì: $g\left( x \right)$ là hàm số chẵn nên $g\left( -x \right)=g\left( x \right),\forall -x,x\in \left( -b;b \right).$ Áp dụng tính chất (*)
Suy ra: $\int\limits_{-b}^{b}{g\left( x \right).dx=}\int\limits_{0}^{b}{g\left( x \right).dx+\int\limits_{0}^{b}{g\left( -x \right).dx}=2\int\limits_{0}^{b}{g\left( x \right).dx}}$
C. Đúng, vì: $g\left( x \right)$ là hàm số lẻ nên $g\left( -x \right)=-g\left( x \right),\forall -x,x\in \left( -a;a \right).$ Áp dụng tính chất (*)
Suy ra: $\int\limits_{-a}^{a}{g\left( x \right).dx=}\int\limits_{0}^{a}{g\left( x \right).dx+\int\limits_{0}^{a}{g\left( -x \right).dx}=0}$
D. Sai. Đặt $x=b-t\Rightarrow d\text{x}=-dt$ và $x=0\Rightarrow t=b;x=b\Rightarrow t=0$
Thì $\int\limits_{0}^{b}{g\left( x \right)d\text{x}=-\int\limits_{b}^{0}{g\left( b-t \right)dt=\int\limits_{0}^{b}{g\left( b-x \right)d\text{x}}}}$
Thì $\int\limits_{-a}^{a}{g\left( x \right)dx}=\int\limits_{-a}^{0}{g\left( x \right)dx+\int\limits_{0}^{a}{g\left( x \right)dx=-\int\limits_{a}^{0}{g\left( -t \right)dt+\int\limits_{0}^{a}{g\left( x \right)dx=\int\limits_{0}^{a}{\left( g\left( x \right)+g\left( -x \right) \right)dx\left( * \right)}}}}}$
B.Đúng, vì: $g\left( x \right)$ là hàm số chẵn nên $g\left( -x \right)=g\left( x \right),\forall -x,x\in \left( -b;b \right).$ Áp dụng tính chất (*)
Suy ra: $\int\limits_{-b}^{b}{g\left( x \right).dx=}\int\limits_{0}^{b}{g\left( x \right).dx+\int\limits_{0}^{b}{g\left( -x \right).dx}=2\int\limits_{0}^{b}{g\left( x \right).dx}}$
C. Đúng, vì: $g\left( x \right)$ là hàm số lẻ nên $g\left( -x \right)=-g\left( x \right),\forall -x,x\in \left( -a;a \right).$ Áp dụng tính chất (*)
Suy ra: $\int\limits_{-a}^{a}{g\left( x \right).dx=}\int\limits_{0}^{a}{g\left( x \right).dx+\int\limits_{0}^{a}{g\left( -x \right).dx}=0}$
D. Sai. Đặt $x=b-t\Rightarrow d\text{x}=-dt$ và $x=0\Rightarrow t=b;x=b\Rightarrow t=0$
Thì $\int\limits_{0}^{b}{g\left( x \right)d\text{x}=-\int\limits_{b}^{0}{g\left( b-t \right)dt=\int\limits_{0}^{b}{g\left( b-x \right)d\text{x}}}}$
Đáp án D.