Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên trục trên ℝ thỏa mãn $\dfrac{2f(x)-1}{2m\text{x}-1}=\dfrac{{{m}^{2}}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{4}+m\left( 1-x \right)}{{{f}^{2}}(x)-f(x)+m+\dfrac{1}{4}}$ và $2f(x)>1$, với $m>0$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\dfrac{f(x)-9m+8}{x-m}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
A. 9
B. 7
C. 8
D. 6
A. 9
B. 7
C. 8
D. 6
$\dfrac{2f(x)-1}{2m\text{x}-1}=\dfrac{{{m}^{2}}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{4}+m\left( 1-x \right)}{{{f}^{2}}(x)-f(x)+m+\dfrac{1}{4}}$ $\Leftrightarrow \left[ 2f(x)-1 \right]\left[ {{f}^{2}}(x)-f(x)+m+\dfrac{1}{4} \right]=\left( 2mx-1 \right)\left[ {{m}^{2}}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{4}+m\left( 1-x \right) \right]$.
Xét $g(t)=\left( 2t-1 \right)\left( {{t}^{2}}-t+m+\dfrac{1}{4} \right)\Rightarrow {g}'(t)=2\left( {{t}^{2}}-t+m+\dfrac{1}{4} \right)+\left( 2t-1 \right)\left( 2t-1 \right)>0,\forall m>0$.
Hàm đặc trưng $g(t)$ tăng liên tục trên ℝ.
Lúc đó $g\left( f(x) \right)=g\left( m\text{x} \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=m\text{x}$.
Nên $y=\dfrac{f(x)-9m+8}{x-m}=\dfrac{m\text{x}-9m+8}{x-m}\Rightarrow {y}'=\dfrac{-{{m}^{2}}+9m-8}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}>0\Leftrightarrow m\in (1;8)$.
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 2;3;4;5;6;7 \right\}$. Vậy có 6 giá trị m nguyên dương cần tìm.
Xét $g(t)=\left( 2t-1 \right)\left( {{t}^{2}}-t+m+\dfrac{1}{4} \right)\Rightarrow {g}'(t)=2\left( {{t}^{2}}-t+m+\dfrac{1}{4} \right)+\left( 2t-1 \right)\left( 2t-1 \right)>0,\forall m>0$.
Hàm đặc trưng $g(t)$ tăng liên tục trên ℝ.
Lúc đó $g\left( f(x) \right)=g\left( m\text{x} \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=m\text{x}$.
Nên $y=\dfrac{f(x)-9m+8}{x-m}=\dfrac{m\text{x}-9m+8}{x-m}\Rightarrow {y}'=\dfrac{-{{m}^{2}}+9m-8}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}>0\Leftrightarrow m\in (1;8)$.
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 2;3;4;5;6;7 \right\}$. Vậy có 6 giá trị m nguyên dương cần tìm.
Đáp án D.