Cho hàm số f(x) = x5 + 3x3 - 4m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của...

Phương pháp:
- Đặt $\sqrt[3]{f(x)+m}=u$ đưa về phương trình g (w) = g (v) với w, v là các biểu thức ẩn x, u .
- Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng, xét hàm y = g (x) suy ra mối quan hệ x, t.
Cách giải:
Đặt $\sqrt[3]{f(x)+m}=u\Rightarrow f(x)+m={{u}^{3}}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f(u)={{x}^{3}}-m \\
& f(x)={{u}^{3}}-m \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f(u)- f(x)={{x}^{3}}-{{u}^{3}}\Leftrightarrow f(u)+{{u}^{3}}=f(x)+{{x}^{3}}$
Xét hàm $g(x)=f(x)+{{x}^{3}}={{x}^{5}}+3{{x}^{3}}-4m+{{x}^{3}}={{x}^{5}}+4{{x}^{3}}-4m$ có $g'(x)=5{{x}^{4}}+12{{x}^{2}}>0 , \forall x\in \left[ 1;2 \right]$
Do đó y = g (x) đồng biến trên [1; 2].
$\begin{aligned}
& \Rightarrow f(u)+{{u}^{3}}=f(x)+{{x}^{3}}\Leftrightarrow u=x\Leftrightarrow \sqrt[3]{f(x)+m}=x \\
& \Leftrightarrow f(x)+m={{x}^{3}}\Leftrightarrow {{x}^{5}}+3{{x}^{3}}-4m+m={{x}^{3}}\Leftrightarrow {{x}^{5}}+2{{x}^{3}}=3m \\
\end{aligned}$
Xét hàm $h(x)={{x}^{5}}+2{{x}^{3}}$ trên [1; 2] có $h'(x)=5{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}>0 , \forall x\in \left[ 1;2 \right]$
h(x) đồng biến trên [1;2] h(1) h(x) h(2) 3 h (x) 48 .
Phương trình h(x) = 3m có nghiệm thuộc [1; 2] $\Rightarrow 3 \le 3m \le 48 \Rightarrow 1 \le m \le 16$
Vậy có 16 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.