Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2+1$ và $g(x)=f\left( \left|...

Ta có: $f(x)=x^3-3x^2+1$ và $g(x)=f(|f(x)|-m);f(-1)=-3;f(1)=-1;$
Suy ra $g^{\prime }(x)={\left(|f(x)|\right)}^{\prime }.f^{\prime }(|f(x)|-m)={\displaystyle \frac{f(x)f^{\prime }(x)}{\sqrt{f{(x)}^2}}}.f^{\prime }(|f(x)|-m)=0$
$\iff [\begin{array}{rl}& x=0;x=2\\ & x=a\approx -0.53,x=b\approx 0.65,x=c\approx 2.88\\ & |f(x)|-m=0\\ & |f(x)|-m=2\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=0;x=2\\ & x=a\approx -0.53,x=b\approx 0.65,x=c\approx 2.88\\ & |f(x)|=m\\ & |f(x)|=m+2\end{array}$(*)
Để có hai điểm cực trị $x=-1$, $x=1$ trong hàm số $y=g(x)$ thì hai giá trị $x$ đó phải là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{array}{rl}& [\begin{array}{rl}& |f(x)|=m\\ & |f(x)|=m+2\end{array}\\ & |f(-1)|=3;|f(1)|=1;\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& m=3\\ & m=1\\ & m+2=3\\ & m+2=1\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& m=-1\\ & m=1\\ & m=3\end{array}$.
-Với $m=3$ thì suy ra $[\begin{array}{rl}& |f(x)|=3\\ & |f(x)|=5\end{array}$, tới đây ta nhận thấy hệ phương trình trên không có nghiệm $x=1$nên ta loại.
-ới $m=-1$ thì suy ra $[\begin{array}{rl}& |f(x)|=-1\\ & |f(x)|=1\end{array}$, tới đây ta nhận thấy hệ phương trình trên không có nghiệm $x=-1$nên ta loại
-Với $m=1$ thì suy ra $[\begin{array}{rl}& |f(x)|=1\\ & |f(x)|=3\end{array}$. Do hệ phương trình này có hai nghiệm $x=-1;x=1$ nên hệ phương trình tương đương với (dựa vào đồ thị hình bên)

$\iff [\begin{array}{rl}& x=-1;0;1;b;3\\ & x=a^{\prime };2;c^{\prime }\end{array}$. Do hai cực trị $x=0,x=2$ đã có ở (*) nên $\Rightarrow [\begin{array}{rl}& x=-1;1;b^{\prime };3\\ & x=a^{\prime };c^{\prime }\end{array}$(6 nghiệm)
Như vậy hệ phương trình (*) có tổng cộng 11 nghiệm tương đương với hàm số $y=g(x)$ có 11 điểm cực trị thỏa đề bài,