Cho hàm số $f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$ và $g(x)=f\left( \left|...

Ta có: $f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$ và $g(x)=f\left( \left| f(x) \right|-m \right);f(-1)=-3;f(1)=-1;$
Suy ra ${g}'(x)={{\left( \left| f(x) \right| \right)}^{\prime }}.{f}'\left( \left| f(x) \right|-m \right)=\dfrac{f(x){f}'(x)}{\sqrt{f{{(x)}^{2}}}}.{f}'\left( \left| f(x) \right|-m \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0;x=2 \\
& x=a\approx -0.53,x=b\approx 0.65,x=c\approx 2.88 \\
& \left| f(x) \right|-m=0 \\
& \left| f(x) \right|-m=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0;x=2 \\
& x=a\approx -0.53,x=b\approx 0.65,x=c\approx 2.88 \\
& \left| f(x) \right|=m \\
& \left| f(x) \right|=m+2 \\
\end{aligned} \right.$(*)
Để có hai điểm cực trị $x=-1$, $x=1$ trong hàm số $y=g(x)$ thì hai giá trị $x$ đó phải là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& \left| f(x) \right|=m \\
& \left| f(x) \right|=m+2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left| f(-1) \right|=3;\left| f(1) \right|=1; \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=3 \\
& m=1 \\
& m+2=3 \\
& m+2=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=1 \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right.$.
-Với $m=3$ thì suy ra $\left[ \begin{aligned}
& \left| f(x) \right|=3 \\
& \left| f(x) \right|=5 \\
\end{aligned} \right. $, tới đây ta nhận thấy hệ phương trình trên không có nghiệm $ x=1$nên ta loại.
-ới $m=-1$ thì suy ra $\left[ \begin{aligned}
& \left| f(x) \right|=-1 \\
& \left| f(x) \right|=1 \\
\end{aligned} \right. $, tới đây ta nhận thấy hệ phương trình trên không có nghiệm $ x=-1$nên ta loại
-Với $m=1$ thì suy ra $\left[ \begin{aligned}
& \left| f(x) \right|=1 \\
& \left| f(x) \right|=3 \\
\end{aligned} \right. $. Do hệ phương trình này có hai nghiệm $ x=-1;x=1$ nên hệ phương trình tương đương với (dựa vào đồ thị hình bên)

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1;0;1;b;3 \\
& x={a}';2;{c}' \\
\end{aligned} \right. $. Do hai cực trị $ x=0,x=2 $ đã có ở (*) nên $ \Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1;1;{b}';3 \\
& x={a}';{c}' \\
\end{aligned} \right.$(6 nghiệm)
Như vậy hệ phương trình (*) có tổng cộng 11 nghiệm tương đương với hàm số $y=g(x)$ có 11 điểm cực trị thỏa đề bài,