Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0 ;+\infty)$ thỏa mãn điều kiện...

$
\begin{aligned}
& \text { Ta có: } f^2(x)\left(f^{\prime}(x)-x-1\right)\left(f^{\prime}(x)+x+1\right)=x^2+2 x+1 \\
& \Leftrightarrow f^2(x)\left[\left(f^{\prime}(x)\right)^2-(x+1)^2\right]=x^2+2 x+1 \\
& \Leftrightarrow f^2(x)\left[f^{\prime}(x)\right]^2=(x+1)^2+(x+1)^2 f^2(x) \\
& \Leftrightarrow f^2(x)\left[f^{\prime}(x)\right]^2=(x+1)^2\left(1+f^2(x)\right)(*) \\
& \text { Vì } f^{\prime}(x) \forall x \in(0 ;+\infty) \Rightarrow f^{\prime}(x) \text { đồng biến trên }(0 ;+\infty) \text { và } f(0)=0 \Rightarrow f(x)>0, \forall x>0 \text {. } \\
&
\end{aligned}
$
Do đó trên $[0 ;+\infty)$ ta có $(*) \Leftrightarrow f(x) f^{\prime}(x)=(x+1) \sqrt{\left(1+f^2(x)\right)} \Rightarrow \dfrac{f(x) f^{\prime}(x)}{\sqrt{\left(1+f^2(x)\right)}}=x+1$
$
\begin{aligned}
& \Rightarrow \int \dfrac{f(x) f^{\prime}(x)}{\sqrt{\left(1+f^2(x)\right)}} d x=\int(x+1) d x \\
& \Rightarrow \sqrt{\left(1+f^2(x)\right)}=\dfrac{x^2}{2}+x+C
\end{aligned}
$
Vì $f(0)=0 \Rightarrow C=1$.
Vậy $\sqrt{\left(1+f^2(x)\right)}=\dfrac{x^2}{2}+x+1 \Rightarrow \sqrt{\left(1+f^2(2)\right)}=5 \Rightarrow f(2)=2 \sqrt{6}$.