Cho hàm số $f(x)=\dfrac{{{x}^{5}}}{5}-{{x}^{2}}+(m-1)x-4029$. Có...

Đặt $h\left( x \right)=f\left( x-1 \right)+2022$.
Ta có $y=\left| f\left( x-1 \right)+2022 \right|$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;2 \right)$ thì
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x-1 \right)+2022\le 0 \\
& {h}'\left( x \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\forall x\in \left( -\infty ;2 \right) $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 1 \right)+2022\le 0 \\
& {h}'\left( x-1 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\forall x\in \left( -\infty ;2 \right) $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le \dfrac{10044}{5} \left( 1 \right) \\
& {h}'\left( x-1 \right)\ge 0 \forall x\in \left( -\infty ;2 \right) (2) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le \dfrac{10044}{5} \left( 1 \right) \\
& {{\left( x-1 \right)}^{4}}-2\left( x-1 \right)+m-1\ge 0 \forall x\in \left( -\infty ;2 \right) (2) \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $t=x-1,$ $t\in \left( -\infty ;1 \right)$, khi đó ta có
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{t}^{4}}-2t+m-1\ge 0 \forall t\in \left( -\infty ;1 \right)$
$\Leftrightarrow -{{t}^{4}}+2t+1\le m \forall t\in \left( -\infty ;1 \right)$
Đặt $g(t)=-{{t}^{4}}+2t+11$ $\Rightarrow {{g}^{'}}(t)=-4{{t}^{3}}+2$.
Xét ${{g}^{'}}(t)=0\Leftrightarrow -4{{t}^{3}}+2=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$.
Nên $\Leftrightarrow f\left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \right)\le m \Leftrightarrow m\ge \dfrac{3}{3\sqrt[3]{2}}+1$
Từ và suy ra $\dfrac{3}{3\sqrt[3]{2}}+1\le m\le \dfrac{10044}{5}$, mà $m\in \mathbb{Z}$ nên có $2007$ giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.