Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số $f(x)=\dfrac{2}{{{5}^{x}}}+\dfrac{5}{\ln (x+1)}$ và $g(x)=\dfrac{mx-m-1}{x-1}$. Số giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt là
A. $11$.
B. $8$.
C. $10$.
D. $9$.
A. $11$.
B. $8$.
C. $10$.
D. $9$.
Phương trình hoành độ giao điểm:
$\dfrac{2}{{{5}^{x}}}+\dfrac{5}{\ln (x+1)}=\dfrac{mx-m-1}{x-1}\Leftrightarrow \dfrac{2}{{{5}^{x}}}+\dfrac{5}{\ln (x+1)}-\dfrac{mx-m-1}{x-1}=0$
Xét hàm $h(x)=\dfrac{2}{{{5}^{x}}}+\dfrac{5}{\ln (x+1)}-\dfrac{mx-m-1}{x-1}$, có $D=(-1;+\infty )\backslash \left\{ 0;1 \right\}$ và
$h'(x)=-\dfrac{2.\ln 5}{{{5}^{x}}}-\dfrac{5}{(x+1).{{\ln }^{2}}(x+1)}-\dfrac{1}{{{(x-1)}^{2}}}<0,\forall x\in D$
Ta có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} h(x)=-m;\quad \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} h(x)=+\infty ;\quad \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} h(x)=-\infty ;\quad \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} h(x)=+\infty ;\quad \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} h(x)=-\infty $
Và $\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} h(x)=\dfrac{19}{2}-m.$ Suy ra BBT
Ycbt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -m<0 \\
& \dfrac{19}{2}-m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0<m<\dfrac{19}{2} $. Do $ m\in Z $ nên $ m\in \left\{ 1;2;...;9 \right\}$
$\dfrac{2}{{{5}^{x}}}+\dfrac{5}{\ln (x+1)}=\dfrac{mx-m-1}{x-1}\Leftrightarrow \dfrac{2}{{{5}^{x}}}+\dfrac{5}{\ln (x+1)}-\dfrac{mx-m-1}{x-1}=0$
Xét hàm $h(x)=\dfrac{2}{{{5}^{x}}}+\dfrac{5}{\ln (x+1)}-\dfrac{mx-m-1}{x-1}$, có $D=(-1;+\infty )\backslash \left\{ 0;1 \right\}$ và
$h'(x)=-\dfrac{2.\ln 5}{{{5}^{x}}}-\dfrac{5}{(x+1).{{\ln }^{2}}(x+1)}-\dfrac{1}{{{(x-1)}^{2}}}<0,\forall x\in D$
Ta có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} h(x)=-m;\quad \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} h(x)=+\infty ;\quad \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} h(x)=-\infty ;\quad \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} h(x)=+\infty ;\quad \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} h(x)=-\infty $
Và $\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} h(x)=\dfrac{19}{2}-m.$ Suy ra BBT
& -m<0 \\
& \dfrac{19}{2}-m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0<m<\dfrac{19}{2} $. Do $ m\in Z $ nên $ m\in \left\{ 1;2;...;9 \right\}$
Đáp án C.