Google
Câu hỏi: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f(3)=1$ và $\int\limits_{0}^{1}{xf(3x)dx}=1$, khi đó $\int\limits_{0}^{3}{{{x}^{2}}f'(x)dx}$ bằng
A. 3
B. 7
C. $-9$
D. $\dfrac{25}{3}$
A. 3
B. 7
C. $-9$
D. $\dfrac{25}{3}$
Ta có $\int\limits_{0}^{1}{xf(3x)dx}=1\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{9xf(3x)dx=9}$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{3x.f(3x)d(3x)}=9\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx=9}$ (đổi biển số)
Lại có $\int\limits_{0}^{3}{{{x}^{2}}f'(x)dx}=\left. {{x}^{2}}f(x) \right|_{0}^{3}-\int\limits_{0}^{3}{2xf(x)dx}=9f(3)-2.9=-9$
+ Trong bài toán ta thấy có f (3x) nên dùng phương pháp đổi biến để xuất hiện lượng cần có.
+ Công thức đổi biến: $\int\limits_{a}^{b}{u'(x).f(u(x))dx=\int\limits_{u(a)}^{u(b)}{f(u)du}}$
+ Ta có công thức: $\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx=\int\limits_{a}^{b}{f(u)du=}}\int\limits_{a}^{b}{f(v)dv=}....$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{3x.f(3x)d(3x)}=9\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx=9}$ (đổi biển số)
Lại có $\int\limits_{0}^{3}{{{x}^{2}}f'(x)dx}=\left. {{x}^{2}}f(x) \right|_{0}^{3}-\int\limits_{0}^{3}{2xf(x)dx}=9f(3)-2.9=-9$
Note 1: Phương pháp chung
+ Công thức biến đổi tích phân cơ bản: $k\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx=\int\limits_{a}^{b}{k.f(x)dx}}$ + Trong bài toán ta thấy có f (3x) nên dùng phương pháp đổi biến để xuất hiện lượng cần có.
+ Công thức đổi biến: $\int\limits_{a}^{b}{u'(x).f(u(x))dx=\int\limits_{u(a)}^{u(b)}{f(u)du}}$
+ Ta có công thức: $\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx=\int\limits_{a}^{b}{f(u)du=}}\int\limits_{a}^{b}{f(v)dv=}....$
Đáp án C.