Cho hàm số f(x) có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left(...

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x^2(x+1)(x^2+2m\text{x}+5)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=-1\\ & x^2+2m\text{x}+5=0\left(1\right)\end{array}$
Phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ cần có nghiệm và trong các nghiệm này thì chỉ có 1 nghiệm đơn (bội lẻ). Ta xét các trường hợp sau:
+ TH1: (1) vô nghiệm $\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2-5<0\iff -\sqrt{5}<m<\sqrt{5}\to m\in \{-2;-1;0;1;2\}.$
+ TH2: (1) có nghiệm kép $x=-1\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2-5=0\\ & -2m+6=0\end{array}\Rightarrow m\in \varnothing .$
+ TH3: (1) có nghiệm kép $x=0\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2-5=0\\ & 0^2+2m.0+5=0\end{array}\Rightarrow m\in \varnothing$.
+ TH4: (1) có nghiệm kép $\Rightarrow {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2-5=0\Rightarrow m=\pm \sqrt{5}.$
+ TH5: (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có đúng 1 nghiệm $x=-1\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2-5>0\\ & -2m+6=0\end{array}\iff m=3$.
Vậy $m\in \{-2;-1;0;1;2;3\}$.