Cho hàm số f(x) có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left(...

Ta có: ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+2m\text{x}+5 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-1 \\
& {{x}^{2}}+2m\text{x}+5=0\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ cần có nghiệm và trong các nghiệm này thì chỉ có 1 nghiệm đơn (bội lẻ). Ta xét các trường hợp sau:
+ TH1: (1) vô nghiệm $\Leftrightarrow {\Delta }'={{m}^{2}}-5<0\Leftrightarrow -\sqrt{5}<m<\sqrt{5}\to m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}.$
+ TH2: (1) có nghiệm kép $x=-1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'={{m}^{2}}-5=0 \\
& -2m+6=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \varnothing .$
+ TH3: (1) có nghiệm kép $x=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'={{m}^{2}}-5=0 \\
& {{0}^{2}}+2m.0+5=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \varnothing $.
+ TH4: (1) có nghiệm kép $\Rightarrow {\Delta }'={{m}^{2}}-5=0\Rightarrow m=\pm \sqrt{5}.$
+ TH5: (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có đúng 1 nghiệm $x=-1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'={{m}^{2}}-5>0 \\
& -2m+6=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=3$.
Vậy $m\in \left\{ -2;-1;0;1;2;3 \right\}$.