Cho hàm số $f(x)$, bảng biến thiên của hàm số ${{f}^{'}}(x)$ như...

Ta có $y^{\prime}=(2 x+2) f^{\prime}\left(x^{2}+2 x\right)$. Cho $y^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2 x+2=0 \\ f^{\prime}\left(x^{2}+2 x\right)=0\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1 \\ x^{2}+2 x=a \in(-\infty ;-1) \\ x^{2}+2 x=b \in(-1 ; 0) \\ x^{2}+2 x=c \in(0 ; 1) \\ x^{2}+2 x=d \in(1 ;+\infty)\end{array}\right.\right.$ $* x^{2}+2 x-a=0$ có $\Delta^{\prime}=1+a<0 \quad \forall a \in(-\infty ;-1)$ nên phương trình vô nghiệm. * $x^{2}+2 x-b=0$ có $\Delta^{\prime}=1+b>0 \quad \forall b \in(-1 ; 0)$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt. * $x^{2}+2 x-c=0$ có $\Delta^{\prime}=1+c>0 \quad \forall c \in(0 ; 1)$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt. * $x^{2}+2 x-d=0$ có $\Delta^{\prime}=1+d>0 \forall d \in(1 ;+\infty)$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Nhận xét: 7 nghiệm trên khác nhau đôi một nên phương trình $y^{\prime}=0$ có 7 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số $y=f\left(x^{2}+2 x\right)$ có 7 cực trị.