Cho hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ với $a, b, c, d \in...

Điều kiện: $-1\le x\le 1$
Khi đó trở thành tìm $m$ để bất phương trình $f\left(\sqrt{1-x^2}\right)+{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3-x^2+{\displaystyle \frac{8}{3}}\le f(m)$ có nghiệm
$x\in [-1;1]$
Xét hàm số $g(x)=f\left(\sqrt{1-x^2}\right)+{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3-x^2+{\displaystyle \frac{8}{3}}$ trên $[-1;1]$.
Bài toán trở thành tìm $m$ để $f(m)\ge g(x)$ có nghiệm $x\in [-1;1]\iff f(m)\ge \underset{[-1;1]}{min}g(x)$.
Ta có $g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}}.f^{\prime }\left(\sqrt{1-x^2}\right)+2x^2-2x=x[-{\displaystyle \frac{f^{\prime }\left(\sqrt{1-x^2}\right)}{\sqrt{1-x^2}}}+2x-2]\iff x=0$.
Vì $x\in [-1;1]\Rightarrow \{\begin{array}{l}0\le \sqrt{1-x^2}\le 1\Rightarrow f^{\prime }\left(\sqrt{1-x^2}\right)>0\\ -4\le 2x-2\le 0\end{array}\Rightarrow -{\displaystyle \frac{f^{\prime }\left(\sqrt{1-x^2}\right)}{\sqrt{1-x^2}}}+2x-2<0$.
Ta có bảng biến thiên của hàm $g(x)$ trên $[-1;1]$

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $f(m)\ge \underset{[-1;1]}{min}g(x)=g(-1)=4;$ dựa vào đồ thị ta có $[\begin{array}{l}m>0\\ m=-3\end{array}$.
Do $\{\begin{array}{l}m\in \mathbb{Z}\\ m\in [-10;10]\end{array},$ nên $m\in \{-3;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\}$.
Vậy có 11 số nguyên $m$ thỏa mãn.