Cho hàm số $f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ với $a, b, c, d \in...

Điều kiện: $-1 \leq x \leq 1$
Khi đó trở thành tìm $m$ để bất phương trình $f\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)+\dfrac{2}{3} x^{3}-x^{2}+\dfrac{8}{3} \leq f(m)$ có nghiệm
$x \in[-1 ; 1]$
Xét hàm số $g(x)=f\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)+\dfrac{2}{3} x^{3}-x^{2}+\dfrac{8}{3}$ trên $\left[ -1;1 \right]$.
Bài toán trở thành tìm $m$ để $f(m) \geq g(x)$ có nghiệm $x\in \left[ -1;1 \right]\Leftrightarrow f(m)\ge \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} g(x)$.
Ta có ${g}'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}.{f}'\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)+2{{x}^{2}}-2x=x\left[ -\dfrac{{f}'\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}+2x-2 \right]\Leftrightarrow x=0$.
Vì $x\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
0\le \sqrt{1-{{x}^{2}}}\le 1\Rightarrow {f}'\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)>0 \\
-4\le 2x-2\le 0 \\
\end{array}\Rightarrow -\dfrac{{f}'\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}+2x-2<0 \right.$.
Ta có bảng biến thiên của hàm $g(x)$ trên $\left[ -1;1 \right]$

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $f(m)\ge \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} g(x)=g(-1)=4;$ dựa vào đồ thị ta có $\left[\begin{array}{l}m>0 \\ m=-3\end{array}\right.$.
Do $\left\{\begin{array}{l}m \in \mathbb{Z} \\ m \in[-10 ; 10]\end{array},\right.$ nên $m \in\{-3 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10\}$.
Vậy có 11 số nguyên $m$ thỏa mãn.