Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}-5x+4}{{{x}^{3}}-b{{x}^{2}}-{{a}^{2}}x+{{a}^{2}}b}$ có đồ thị $\left( C \right)$, với $a$ và $b$ là hai tham số nguyên. Hỏi có tất cả bao nhiêu bộ số $\left( a;b \right)$ để có đúng hai đường tiệm cận (nếu chỉ xét tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)?
A. $11$.
B. $10$.
C. $6$.
D. $7$.
A. $11$.
B. $10$.
C. $6$.
D. $7$.
$f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}-5x+4}{{{x}^{3}}-b{{x}^{2}}-{{a}^{2}}x+{{a}^{2}}b}=\dfrac{\left( x-1 \right)\left( x-4 \right)}{\left( x-a \right)\left( x+a \right)\left( x-b \right)}$, ĐKXĐ: $\left\{ \begin{matrix}
x\ne \pm a \\
x\ne b \\
\end{matrix} \right.$.
Đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ luôn có một đường tiệm cận ngang nên để đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ luôn có hai tiệm cận thì đồ thị $\left( C \right)$ phải có đúng một tiệm cận đứng.
TH1: Phương trình $\left( x-a \right)\left( x+a \right)\left( x-b \right)=0$ có nghiệm $x=1$ và $x=4$, ta có các bộ $\left( a;b \right)$ thỏa mãn là $\left( 1;4 \right)$, $\left( -1;4 \right)$, $\left( 4;1 \right)$ và $\left( -4;1 \right)$.
TH2: Phương trình có nghiệm đơn $x=-a=1$ và nghiệm kép $x=a=b$ ta có bộ $\left( a;b \right)$ thỏa mãn là $\left( -1;-1 \right)$.
TH3: Phương trình có nghiệm đơn $x=-a=4$ và nghiệm kép $x=a=b$ ta có bộ $\left( a;b \right)$ thỏa mãn là $\left( -4;-4 \right)$.
TH4: Phương trình có nghiệm bội ba hay $a=b=0$ ta có bộ $\left( a;b \right)$ thỏa mãn là $\left( 0;0 \right)$.
Vậy có tất cả $7$ cặp $\left( a;b \right)$ thỏa mãn.
x\ne \pm a \\
x\ne b \\
\end{matrix} \right.$.
Đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ luôn có một đường tiệm cận ngang nên để đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ luôn có hai tiệm cận thì đồ thị $\left( C \right)$ phải có đúng một tiệm cận đứng.
TH1: Phương trình $\left( x-a \right)\left( x+a \right)\left( x-b \right)=0$ có nghiệm $x=1$ và $x=4$, ta có các bộ $\left( a;b \right)$ thỏa mãn là $\left( 1;4 \right)$, $\left( -1;4 \right)$, $\left( 4;1 \right)$ và $\left( -4;1 \right)$.
TH2: Phương trình có nghiệm đơn $x=-a=1$ và nghiệm kép $x=a=b$ ta có bộ $\left( a;b \right)$ thỏa mãn là $\left( -1;-1 \right)$.
TH3: Phương trình có nghiệm đơn $x=-a=4$ và nghiệm kép $x=a=b$ ta có bộ $\left( a;b \right)$ thỏa mãn là $\left( -4;-4 \right)$.
TH4: Phương trình có nghiệm bội ba hay $a=b=0$ ta có bộ $\left( a;b \right)$ thỏa mãn là $\left( 0;0 \right)$.
Vậy có tất cả $7$ cặp $\left( a;b \right)$ thỏa mãn.
Đáp án D.