Cho hàm số $f\left( x...

Ta có: $f\left( x \right)={{x}^{8}}-a{{x}^{5}}-b{{x}^{4}}+2019\ge 2019 \left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow {{x}^{8}}-a{{x}^{5}}-b{{x}^{4}}\ge 0 \left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{4}}\left( {{x}^{4}}-ax-b \right)\ge 0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow g\left( x \right)={{x}^{4}}-ax-b\ge 0 \left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$
Mặt khác $g\left( -1 \right)=1+a-b\ge 0\Rightarrow a-b\ge -1$
Do đó $a-b$ nhỏ nhất khi $a-b=-1\Leftrightarrow b=a+1$
Suy ra $g\left( x \right)={{x}^{4}}-ax-a-1, \underset{\mathbb{R}}{\mathop{Min}} g\left( x \right)=0\Leftrightarrow $ Đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ tiếp xúc với trục hoành
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{4}}-ax-a-1=0 \\
& {g}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-a=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{4}}-4{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-1=0 \\
& a=4{{x}^{3}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& a=-4\Rightarrow b=-3 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $f\left( x \right)={{x}^{8}}+4{{x}^{5}}+3{{x}^{4}}+2020\Rightarrow f\left( 2 \right)=2452$