Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{a}{4}{{x}^{4}}-b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}-4x$ và $g\left( x \right)=-m{{x}^{3}}-x+n$ với $a, b, c, m, n, p \in \mathbb{R}$. Biết hàm số $y=f\left( x \right)-2g\left( x \right)+x$ có ba điểm cực trị là $-2; -1; 5.$ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường $y={f}'\left( x \right)$ và $y=2{g}'\left( x \right)-1$ bằng
A. 1.
B. $\dfrac{17}{343}.$
C. $\dfrac{4}{5}.$
D. $\dfrac{343}{24}.$
A. 1.
B. $\dfrac{17}{343}.$
C. $\dfrac{4}{5}.$
D. $\dfrac{343}{24}.$
Ta có ${f}'\left( x \right)=a{{x}^{3}}-3b{{x}^{2}}+2cx-4; {g}'\left( x \right)=-3m{{x}^{2}}-1.$
Khi đó ${f}'\left( x \right)-2{g}'\left( x \right)+1=a{{x}^{3}}-\left( 3b+6m \right){{x}^{2}}+2cx-1.$
Do hàm số $y=f\left( x \right)-2g\left( x \right)+x$ có ba cực trị là $-2; -1; 5$ nên ta suy ra $a\ne 0$ và
${f}'\left( x \right)-2{g}'\left( x \right)+1=a\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-5 \right).$
Ta có ${f}'\left( 0 \right)-2{g}'\left( 0 \right)+1=-10a=-1\Rightarrow a=\dfrac{1}{10}.$
Suy ra ${f}'\left( x \right)-2{g}'\left( x \right)+1=\dfrac{1}{10}\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-5 \right).$
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường $y={f}'\left( x \right)$ và $y=2{g}'\left( x \right)-1$ bằng $S=\int\limits_{-2}^{5}{\left| \dfrac{1}{10}\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-5 \right) \right|dx}=\dfrac{343}{24}.$
Khi đó ${f}'\left( x \right)-2{g}'\left( x \right)+1=a{{x}^{3}}-\left( 3b+6m \right){{x}^{2}}+2cx-1.$
Do hàm số $y=f\left( x \right)-2g\left( x \right)+x$ có ba cực trị là $-2; -1; 5$ nên ta suy ra $a\ne 0$ và
${f}'\left( x \right)-2{g}'\left( x \right)+1=a\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-5 \right).$
Ta có ${f}'\left( 0 \right)-2{g}'\left( 0 \right)+1=-10a=-1\Rightarrow a=\dfrac{1}{10}.$
Suy ra ${f}'\left( x \right)-2{g}'\left( x \right)+1=\dfrac{1}{10}\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-5 \right).$
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường $y={f}'\left( x \right)$ và $y=2{g}'\left( x \right)-1$ bằng $S=\int\limits_{-2}^{5}{\left| \dfrac{1}{10}\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-5 \right) \right|dx}=\dfrac{343}{24}.$
Đáp án D.