Cho hàm số $f (x)$ xác định và có đạo hàm ${f}'\left(...

The Funny · 28/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

xác định và có đạo hàm

f^{'} (x)

liên tục trên đoạn

[1; 3]

và

f (x) \neq 0

với mọi

x \in [1; 3]

, đồng thời

f^{'} (x) {(1 + f (x))}^{2} = {[{(f (x))}^{2} (x - 1)]}^{2}

và

f (1) = - 1

. Khi đó

\int_{1}^{3} f (x) d x

là:
A.

- \ln 3

.
B.

\ln 3

.
C.

\ln 2

.
D.

- \ln 2

.$$

Ta có

f^{'} (x) {(1 + f (x))}^{2} = {[{(f (x))}^{2} (x - 1)]}^{2}

\Leftrightarrow \frac{f^{'} (x) {(1 + f (x))}^{2}}{{[f (x)]}^{4}} = {(x - 1)}^{2}

.
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được

\int \frac{f^{'} (x) {(1 + f (x))}^{2}}{{[f (x)]}^{4}} d x = \int {(x - 1)}^{2} d x

\Leftrightarrow \int \frac{(1 + 2 f (x) + {[f (x)]}^{2}) f^{'} (x)}{{[f (x)]}^{4}} d x = \int {(x - 1)}^{2} d x

\Leftrightarrow \int (\frac{1}{{[f (x)]}^{4}} + 2 \frac{1}{{[f (x)]}^{3}} + \frac{1}{{[f (x)]}^{2}}) d (f (x)) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} + C

\Leftrightarrow - \frac{1}{3 {[f (x)]}^{3}} - \frac{1}{{[f (x)]}^{2}} - \frac{1}{f (x)} = \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} + C

\Leftrightarrow - \frac{1 + 3 f (x) + 3 {[f (x)]}^{2}}{3 {[f (x)]}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} + C

Mà

f (1) = - 1

nên

- \frac{1 - 3 + 3}{- 3} = C \Rightarrow C = \frac{1}{3}

.
Suy ra

- \frac{1 + 3 f (x) + 3 {[f (x)]}^{2}}{3 {[f (x)]}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} + \frac{1}{3}

\Leftrightarrow

\frac{1 + 3 f (x) + 3 {[f (x)]}^{2}}{3 {[f (x)]}^{3}} + \frac{1}{3} = - \frac{{(x - 1)}^{3}}{3}

\Leftrightarrow \frac{{(1 + f (x))}^{3}}{{[f (x)]}^{3}} = - {(x - 1)}^{3}

\Leftrightarrow {(1 + \frac{1}{f (x)})}^{3} = {(1 - x)}^{3}

\Leftrightarrow f (x) = \frac{- 1}{x}

.
Vậy

\int_{1}^{3} f (x) d x = {\int_{1}^{3} \frac{- 1}{x} d x = - \ln | x | |}_{1}^{3} = - \ln 3

.

Đáp án A.

Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm ${f}'\left(...