Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ \dfrac{1}{2} \right\}$ thỏa mãn ${f}'\left( x \right)=\dfrac{2}{2x-1},f\left( 0 \right)=1$ và $f\left( 1 \right)=2$. Giá trị của biểu thức $f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)$ bằng
A. $4+\ln 15.$
B. $2+\ln 15.$
C. $3+\ln 15.$
D. $\ln 15.$
A. $4+\ln 15.$
B. $2+\ln 15.$
C. $3+\ln 15.$
D. $\ln 15.$
Ta có: $f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)dx}=\int{\dfrac{2}{2x-1}dx=\ln \left| 2x-1 \right|+C},$ với mọi $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ \dfrac{1}{2} \right\}$
Xét trên $\left( -\infty ;\dfrac{1}{2} \right)$. Ta có $f\left( 0 \right)=1,$ suy ra $C=1.$ Do đó, $f\left( x \right)=\ln \left| 2x-1 \right|+1$, với mọi $x\in \left( -\infty ;\dfrac{1}{2} \right).$ Suy ra $f\left( -1 \right)=1+\ln 3$. Xét trên $\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$. Ta có $f\left( 1 \right)=2,$ suy ra $C=2.$
Do đó, $f\left( x \right)=\ln \left| 2x-1 \right|+2$, với mọi $\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$. Suy ra $f\left( 3 \right)=2+\ln 5$.
Vậy $f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)=3+\ln 3+\ln 5=3+\ln 15.$
Xét trên $\left( -\infty ;\dfrac{1}{2} \right)$. Ta có $f\left( 0 \right)=1,$ suy ra $C=1.$ Do đó, $f\left( x \right)=\ln \left| 2x-1 \right|+1$, với mọi $x\in \left( -\infty ;\dfrac{1}{2} \right).$ Suy ra $f\left( -1 \right)=1+\ln 3$. Xét trên $\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$. Ta có $f\left( 1 \right)=2,$ suy ra $C=2.$
Do đó, $f\left( x \right)=\ln \left| 2x-1 \right|+2$, với mọi $\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$. Suy ra $f\left( 3 \right)=2+\ln 5$.
Vậy $f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)=3+\ln 3+\ln 5=3+\ln 15.$
Đáp án C.