Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+5x$ và $g\left(...

Ta có $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2x+5>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Suy ra $f\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
Ta có $g\left( x \right)=0\Leftrightarrow -3{{x}^{3}}+\left( 2m+21 \right){{x}^{2}}-\left( 4m+18 \right)x+2m=0$
$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left[ -3{{x}^{2}}+2\left( m+9 \right)x-2m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& h\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+2\left( m+9 \right)x-2m=0 \\
\end{aligned} \right.$
Nhận thấy $\left\{ \begin{aligned}
& {{\Delta }_{h\left( x \right)}}>0,\forall m \\
& h\left( 1 \right)\ne 0,\forall m \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra phương trình $g\left( x \right)=0$ luôn có ba nghiệm phân biệt $x=1,x=a,x=b$
Suy ra $g\left( f\left( x \right) \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=1 \\
& f\left( x \right)=a \\
& f\left( x \right)=b \\
\end{aligned} \right.$
Do $f\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ với các đồ thị hàm số $y=1,y=a,y=b$ là duy nhất
Vậy phương trình $g\left( f\left( x \right) \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.
Lưu ý: Vì cách hỏi của bài toán không liên quan đến tham số m nên với phương pháp trắc nghiệm, ta có thể chọn 1 tham số m bất kì trên $\mathbb{R}$. Cụ thể ta chọn $m=0$, bài toán sẽ được giải quyết nhanh hơn.