Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-\left( m+3 \right){{x}^{2}}+2mx+2$ (với $m$ là tham số thực, $m>0$ ). Hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $1$.
B. $3$.
C. $5$.
D. $4$.
A. $1$.
B. $3$.
C. $5$.
D. $4$.
Nhận xét: hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số đối xứng qua Oy. Vì vậy, ta đi tìm số cực trị dương. Khi đó, số điểm cực trị cần tìm bằng số cực trị dương cộng 1.
Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2\left( m+3 \right)x+2m$ ; ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-2\left( m+3 \right)x+2m=0$ (*).
${\Delta }'={{\left( m+3 \right)}^{2}}-6m={{m}^{2}}+9>0$ với mọi $m$ $\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ (Giả sử ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ ).
Theo định lý Vi–et ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{2\left( m+3 \right)}{3}>0 \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{2m}{3}>0 \\
\end{aligned} \right. $ với mọi $ m>0$.
Suy ra với $m>0$ hàm số $y=f\left( x \right)$ luôn có hai điểm cực trị dương ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 điểm cực trị.
Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2\left( m+3 \right)x+2m$ ; ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-2\left( m+3 \right)x+2m=0$ (*).
${\Delta }'={{\left( m+3 \right)}^{2}}-6m={{m}^{2}}+9>0$ với mọi $m$ $\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ (Giả sử ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ ).
Theo định lý Vi–et ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{2\left( m+3 \right)}{3}>0 \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{2m}{3}>0 \\
\end{aligned} \right. $ với mọi $ m>0$.
Suy ra với $m>0$ hàm số $y=f\left( x \right)$ luôn có hai điểm cực trị dương ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$.
Bảng biến thiên
Đáp án C.