Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ với a, b, c là các số thực. Biết hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+3{f}''\left( x \right)$ có hai giá trị cực trị là là –13 và 7. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{f\left( x \right)+2{f}''\left( x \right)}{g\left( x \right)+18}$ và $y=1$ bằng
A. ln 5.
B. ln 3.
C. ln 18.
D. 2ln2.
A. ln 5.
B. ln 3.
C. ln 18.
D. 2ln2.
Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2ax+b$ ; ${f}''\left( x \right)=6x+2a$ ; ${{f}''}'\left( x \right)=6$ ;
$g\left( x \right)=f\left( x \right)={f}'\left( x \right)+3{f}''\left( x \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+18$.
Vì $g\left( x \right)$ có hai giá trị cực trị là –13 và 7 nên không giảm tổng quát, $g\left( x \right)$ có hai điểm cực trị là ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ và $g\left( {{x}_{1}} \right)=-13$, $g\left( {{x}_{2}} \right)=7$.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường $y=\dfrac{f\left( x \right)+2{f}''\left( x \right)}{g\left( x \right)+18}$ và $y=1$ là: $\dfrac{f\left( x \right)+2{f}''\left( x \right)}{g\left( x \right)+18}=1$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)+2{f}''\left( x \right)=g\left( x \right)+18\Leftrightarrow f\left( x \right)+2{f}''\left( x \right)=f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+3{f}''\left( x \right)+18$
$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)+{f}''\left( x \right)+18\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)=0\left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{f\left( x \right)+2{f}''\left( x \right)}{g\left( x \right)+18}$ và $y=1$ là:
$S=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{f\left( x \right)+2{f}''\left( x \right)}{g\left( x \right)+18}-1 \right)dx} \right|=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{f\left( x \right)+2{f}''\left( x \right)-g\left( x \right)-18}{g\left( x \right)+18} \right)dx} \right|$
$=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{-{f}'\left( x \right)-{f}''\left( x \right)-18}{g\left( x \right)+18} \right)dx} \right|$
$=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{-{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+18} \right)dx} \right|=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+18} \right)dx} \right|=\left| \ln \left| g\left( x \right)+18 \right|\left| \begin{aligned}
& ^{{{x}_{2}}} \\
& _{{{x}_{1}}} \\
\end{aligned} \right. \right|=\left| \ln 25-\ln 5 \right|=\ln 5$
$g\left( x \right)=f\left( x \right)={f}'\left( x \right)+3{f}''\left( x \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+18$.
Vì $g\left( x \right)$ có hai giá trị cực trị là –13 và 7 nên không giảm tổng quát, $g\left( x \right)$ có hai điểm cực trị là ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ và $g\left( {{x}_{1}} \right)=-13$, $g\left( {{x}_{2}} \right)=7$.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường $y=\dfrac{f\left( x \right)+2{f}''\left( x \right)}{g\left( x \right)+18}$ và $y=1$ là: $\dfrac{f\left( x \right)+2{f}''\left( x \right)}{g\left( x \right)+18}=1$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)+2{f}''\left( x \right)=g\left( x \right)+18\Leftrightarrow f\left( x \right)+2{f}''\left( x \right)=f\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+3{f}''\left( x \right)+18$
$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)+{f}''\left( x \right)+18\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)=0\left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{f\left( x \right)+2{f}''\left( x \right)}{g\left( x \right)+18}$ và $y=1$ là:
$S=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{f\left( x \right)+2{f}''\left( x \right)}{g\left( x \right)+18}-1 \right)dx} \right|=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{f\left( x \right)+2{f}''\left( x \right)-g\left( x \right)-18}{g\left( x \right)+18} \right)dx} \right|$
$=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{-{f}'\left( x \right)-{f}''\left( x \right)-18}{g\left( x \right)+18} \right)dx} \right|$
$=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{-{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+18} \right)dx} \right|=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{{g}'\left( x \right)}{g\left( x \right)+18} \right)dx} \right|=\left| \ln \left| g\left( x \right)+18 \right|\left| \begin{aligned}
& ^{{{x}_{2}}} \\
& _{{{x}_{1}}} \\
\end{aligned} \right. \right|=\left| \ln 25-\ln 5 \right|=\ln 5$
Đáp án A.