Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$. Nếu...

Xét phương trình .
Xét hàm số với mọi .
Ta có: .
Mặt khác:
+ Có .
+ Gọi là ba nghiệm của phương trình: .
Khi đó
Bảng biến thiên:

Ta nhận xét rằng theo giả thiết phương trình có ba nghiệm phân biệt nên ta có thì .
Suy ra nên từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số cắt trục hoành tối đa tại hai điểm phân biệt nên phương trình có tối đa hai nghiệm.