Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$. Nếu phương trình $f\left( x \right)=0$ có ba nghiệm phân biệt thì phương trình $2f\left( x \right).f''\left( x \right)={{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}$ có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?
A. 1 nghiệm
B. 4 nghiệm
C. 3 nghiệm
D. 2 nghiệm
A. 1 nghiệm
B. 4 nghiệm
C. 3 nghiệm
D. 2 nghiệm
Xét phương trình $2f\left( x \right).f''\left( x \right)={{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow 2f\left( x \right).f''\left( x \right)-{{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}=0$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=2f\left( x \right).f''\left( x \right)-{{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Ta có: $g'\left( x \right)=2f'\left( x \right).f''\left( x \right)-2f\left( x \right)f'''\left( x \right)-2f'\left( x \right)f''\left( x \right)=-2f\left( x \right).f'''\left( x \right)$.
Mặt khác:
+ Có $f'''\left( x \right)=-6$.
+ Gọi ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}$ là ba nghiệm của phương trình: $f\left( x \right)=0$.
Khi đó $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow -2f\left( x \right).f'''\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
& x={{x}_{3}} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên:
Ta nhận xét rằng theo giả thiết phương trình $f\left( x \right)=0$ có ba nghiệm phân biệt nên ta có $f\left( x \right)=\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)$ thì $f'\left( x \right)=\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)+\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)+\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)$.
Suy ra $-\left[ f'{{\left( {{x}_{2}} \right)}^{2}} \right]=-{{\left[ \left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)\left( {{x}_{2}}-{{x}_{3}} \right) \right]}^{2}}<0$ nên từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ cắt trục hoành tối đa tại hai điểm phân biệt nên phương trình $g\left( x \right)=0$ có tối đa hai nghiệm.
Xét hàm số $g\left( x \right)=2f\left( x \right).f''\left( x \right)-{{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Ta có: $g'\left( x \right)=2f'\left( x \right).f''\left( x \right)-2f\left( x \right)f'''\left( x \right)-2f'\left( x \right)f''\left( x \right)=-2f\left( x \right).f'''\left( x \right)$.
Mặt khác:
+ Có $f'''\left( x \right)=-6$.
+ Gọi ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}$ là ba nghiệm của phương trình: $f\left( x \right)=0$.
Khi đó $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow -2f\left( x \right).f'''\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
& x={{x}_{3}} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên:
Ta nhận xét rằng theo giả thiết phương trình $f\left( x \right)=0$ có ba nghiệm phân biệt nên ta có $f\left( x \right)=\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)$ thì $f'\left( x \right)=\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)+\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)+\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)$.
Suy ra $-\left[ f'{{\left( {{x}_{2}} \right)}^{2}} \right]=-{{\left[ \left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)\left( {{x}_{2}}-{{x}_{3}} \right) \right]}^{2}}<0$ nên từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ cắt trục hoành tối đa tại hai điểm phân biệt nên phương trình $g\left( x \right)=0$ có tối đa hai nghiệm.
Đáp án D.