Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x$. Tìm $m$ để hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực đại tại ${{x}_{0}}=1$.
A. $m\ne 0$ và $m\ne 2$.
B. $m=2$.
C. $m=0$.
D. $m=0$ hoặc $m=2$.
A. $m\ne 0$ và $m\ne 2$.
B. $m=2$.
C. $m=0$.
D. $m=0$ hoặc $m=2$.
${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)$, ${{f}'}'\left( x \right)=6x-6m$.
Nếu hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực đại tại ${{x}_{0}}=1$ thì ${f}'\left( 1 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2 \\
& m=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $m=2$ thì $f\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x$, ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-12x+9$ và ${{f}'}'\left( x \right)=6x-12$.
${f}'\left( 1 \right)=0$ và ${{f}'}'\left( 1 \right)=-6<0$ nên hàm số đạt cực đại tại ${{x}_{0}}=1$.
Với $m=0$ thì $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$, ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3$ và ${{f}'}'\left( x \right)=6x$.
${f}'\left( 1 \right)=0$ và ${{f}'}'\left( 1 \right)=6>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại ${{x}_{0}}=1$.
Vậy $m=2$ là gía trị cần tìm.
Nếu hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực đại tại ${{x}_{0}}=1$ thì ${f}'\left( 1 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2 \\
& m=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $m=2$ thì $f\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x$, ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-12x+9$ và ${{f}'}'\left( x \right)=6x-12$.
${f}'\left( 1 \right)=0$ và ${{f}'}'\left( 1 \right)=-6<0$ nên hàm số đạt cực đại tại ${{x}_{0}}=1$.
Với $m=0$ thì $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$, ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3$ và ${{f}'}'\left( x \right)=6x$.
${f}'\left( 1 \right)=0$ và ${{f}'}'\left( 1 \right)=6>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại ${{x}_{0}}=1$.
Vậy $m=2$ là gía trị cần tìm.
Đáp án B.