Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-2019$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số $g\left( x \right)={{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}-3.\left[ f\left( x \right) \right]+2020$ đồng biến trên $\left( -\infty ;2 \right]$ ?
A. 1008.
B. 1009.
C. 1010.
D. Vô số.
A. 1008.
B. 1009.
C. 1010.
D. Vô số.
Ta có $g{{\left( x \right)}^{\prime }}={f}'\left( x \right).\left[ 3{{f}^{2}}\left( x \right)-3 \right]$
và $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-2019\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+m.$
Nhận xét:
Nếu $\exists {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( -\infty ;2 \right]$ mà ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$ thỏa mãn $f\left( {{x}_{1}} \right)=f\left( {{x}_{2}} \right)$ thì $g\left( {{x}_{1}} \right)=g\left( {{x}_{2}} \right).$
Khi đó $g\left( x \right)$ không đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;2 \right]$.
Do đó để thỏa mãn điều kiện $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;2 \right]$ thì hàm số $f\left( x \right)$ là hàm đồng biến (hoặc nghịch biến) trên $\left( -\infty ;2 \right]$.
Mặt khác $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} {f}'\left( x \right)=+\infty $ nên ${f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;2 \right].$
+) ${f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;2 \right]\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x+m\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;2 \right]$
$\Leftrightarrow m\ge -{{x}^{2}}+6x,\forall x\in \left( -\infty ;2 \right]\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( -\infty ;2 \right]}{\mathop{\max }} \left( -3{{x}^{2}}+6x \right)\Leftrightarrow m\ge 3\left( 1 \right)$
+) Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;2 \right]$ suy ra $g'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;2 \right]$ nên
$3{{f}^{2}}\left( x \right)-3\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;2 \right]\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)\ge 1 \\
& f\left( x \right)\le -1 \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \left( -\infty ;2 \right] $ (do $ {f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;2 \right]$).
Mà $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty $ nên suy ra không xảy ra trường hợp $f\left( x \right)\ge 1,\forall x\in \left( -\infty ;2 \right]$.
Do đó $f\left( x \right)\le -1,\forall x\in \left( -\infty ;2 \right]\Leftrightarrow \underset{\left( -\infty ;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)\le -1$
$\Leftrightarrow f\left( 2 \right)\le -1\Leftrightarrow 2m-2023\le -1\Leftrightarrow m\le 1011\left( 2 \right)$ (do $f\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;2 \right]$ )
Từ (1) và (2) ta có $3\le m\le 1011.$
Mà $m$ là số nguyên nên có 1009 giá trị $m$ thỏa mãn điều kiện bài ra.
và $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-2019\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+m.$
Nhận xét:
Nếu $\exists {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( -\infty ;2 \right]$ mà ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$ thỏa mãn $f\left( {{x}_{1}} \right)=f\left( {{x}_{2}} \right)$ thì $g\left( {{x}_{1}} \right)=g\left( {{x}_{2}} \right).$
Khi đó $g\left( x \right)$ không đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;2 \right]$.
Do đó để thỏa mãn điều kiện $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;2 \right]$ thì hàm số $f\left( x \right)$ là hàm đồng biến (hoặc nghịch biến) trên $\left( -\infty ;2 \right]$.
Mặt khác $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} {f}'\left( x \right)=+\infty $ nên ${f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;2 \right].$
+) ${f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;2 \right]\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x+m\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;2 \right]$
$\Leftrightarrow m\ge -{{x}^{2}}+6x,\forall x\in \left( -\infty ;2 \right]\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( -\infty ;2 \right]}{\mathop{\max }} \left( -3{{x}^{2}}+6x \right)\Leftrightarrow m\ge 3\left( 1 \right)$
+) Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;2 \right]$ suy ra $g'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;2 \right]$ nên
$3{{f}^{2}}\left( x \right)-3\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;2 \right]\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)\ge 1 \\
& f\left( x \right)\le -1 \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \left( -\infty ;2 \right] $ (do $ {f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;2 \right]$).
Mà $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty $ nên suy ra không xảy ra trường hợp $f\left( x \right)\ge 1,\forall x\in \left( -\infty ;2 \right]$.
Do đó $f\left( x \right)\le -1,\forall x\in \left( -\infty ;2 \right]\Leftrightarrow \underset{\left( -\infty ;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)\le -1$
$\Leftrightarrow f\left( 2 \right)\le -1\Leftrightarrow 2m-2023\le -1\Leftrightarrow m\le 1011\left( 2 \right)$ (do $f\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;2 \right]$ )
Từ (1) và (2) ta có $3\le m\le 1011.$
Mà $m$ là số nguyên nên có 1009 giá trị $m$ thỏa mãn điều kiện bài ra.
Đáp án B.