Cho hàm số $f (x)$ nhận giá trị dương trên khoảng...

The Funny · 3/7/23

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

nhận giá trị dương trên khoảng

(0; + \infty)

có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa mãn

f (x) \ln f (x) = x (2 f (x) - f^{'} (x)), \forall x \in (0; + \infty)

. Biết

f (1) = f (3)

, giá trị

f (2)

thuộc khoảng nào dưới đây?
A.

(40; 42)

.
B.

(3; 5)

.
C.

(32; 34)

.
D.

(1; 3)

.

Ta có:

\forall x \in (0; + \infty)

f (x) \ln f (x) = x (2 f (x) - f^{'} (x))

\Rightarrow f (x) \ln f (x) = 2 x f (x) - x f^{'} (x)

\Rightarrow f (x) \ln f (x) + x f^{'} (x) = 2 x f (x)

\Rightarrow \ln f (x) + \frac{x f^{'} (x)}{f (x)} = 2 x

\Rightarrow {(x \ln f (x))}^{'} = 2 x

\Rightarrow x \ln f (x) = x^{2} + C

.
Có:

{\begin{aligned} 1 \ln f (1) = 1 + C \\ 3 \ln f (3) = 9 + C \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} 3 \ln f (1) = 3 + 3 C \\ 3 \ln f (3) = 9 + C \end{aligned}

\Rightarrow 0 = - 6 + 2 C \Rightarrow C = 3

.
Vậy:

x \ln f (x) = x^{2} + 3 \Rightarrow \ln f (x) = x + \frac{3}{x}

\Rightarrow f (x) = e^{x + \frac{3}{x}}

f (2) = e^{2 + \frac{3}{2}} \approx 33, 12

.

Đáp án C.

Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương trên khoảng...