Cho hàm số $f\left( x \right)={{\log }_{3}}\left(...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = \log_{3} (\sqrt{4 x^{2} + 1} + 2 x) + 3 x^{2021}

. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

m

thuộc đoạn

[- 2021; 2021]

để bất phương trình

f (x^{2} + 1) + f (- 2 m x) \geq 0

nghiệm đúng với mọi

x \in (0; + \infty)

.
A.

2023

.
B.

4020

.
C.

4022

.
D.

2021

.

Tập xác định:

D = x \in R

.
Ta có

f^{'} (x) = \frac{2 (\sqrt{4 x^{2} + 1} + 2 x)}{\sqrt{4 x^{2} + 1} (\sqrt{4 x^{2} + 1} + 2 x) \ln 3} + 6063 x^{2020} > 0

\Rightarrow f (x)

đồng biến trên

R

.
Ta thấy:

f (- x) = \log_{3} (\sqrt{4 {(- x)}^{2} + 1} + 2 (- x)) + 3 {(- x)}^{2021} = \log_{3} {(\sqrt{4 x^{2} + 1} + 2 x)}^{- 1} - 3 x^{2021} = - f (x)

Vậy

f (x)

là hàm số lẻ.
Khi đó:

f (x^{2} + 1) \geq - f (- 2 m x) \Leftrightarrow f (x^{2} + 1) \geq f (2 m x) \Leftrightarrow x^{2} + 1 \geq 2 m x \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} \geq 2 m, \forall x > 0

.
Xét

g (x) = x + \frac{1}{x}, \forall x > 0 \Rightarrow g^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = - 1 (L) \\ x = 1 (N) \end{aligned}

.
Ta có bảng biến thiên của hàm số

y = g (x)

:

Theo yêu cầu bài toán thì

2 m \leq 2 \Leftrightarrow m \leq 1.

Vì

m \in [- 2021; 2021] \Rightarrow

số giá trị của

m

bằng:

(1 - (- 2021)) + 1 = 2023

.

Đáp án A.